2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 00:37 


14/01/17

40
А можно ли выразить производную от функции Динамо как комбинацию элементарных функций и самой функции Динамо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 00:58 


06/01/16
18
reptiloid в сообщении #1196669 писал(а):
А можно ли выразить производную от функции Динамо как комбинацию элементарных функций и самой функции Динамо?


Конечно, это будет что-то вроде
$$
\frac{d\mathrm{Din}\,a}{da} = \frac{1}{1-\sqrt{1-\mathrm{Din}^2\,a}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 09:55 


14/01/17

40
SharkAV
А не так
$a = asin(x) - x$
$a' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1$
$x'=Din(a)'=\frac{1}{a'}=\frac{1}{-1+\frac{1}{\sqrt{1-Din^2a}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Задача: доказать, что это одно и то же :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 13:12 


14/01/17

40
Munin
Отличаются на единичку

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 14:42 


14/01/17

40
Вообще, у производной получается 2 выражения
От 0 до $\pi/2-1$ - по приведённому выражению, а дальше будет плюс в знаменателе, так как $a=acos(x)-x$, и ближе к $2\pi$ снова минус.
Как-то объединить это можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение03.03.2017, 16:21 


16/02/10
258
Поскольку к новой "элементарной" функции ${\rm Din}(x)$ проявлен интерес, укажу пример ее применения.
Лет 20 назад я придумал один способ измерения гравитационного взаимодействия с помощью механического устройства. Предложил, выписал уравнения, даже построил опытный образец и забросил его. Других дел много, да и не физик я. Так что, это первая публикация на эту тему.

Подпружиненный обратный маятник для измерения гравитации.

Известны два механических устройства для этий цели: крутильные весы Кавендиша и физический маятник. Они отличаются тем, что зависимость отклонения от силы - линейная.
Предложенное устройство обладает гораздо больше чувствительностью. Оно состоит из перевернутого, шарнирно закрепленного на неподвижном основании маятника. В точке опоры на маятник действует угловая линейная пружина, ее момент $Kx$, где $x$- угол отклонения от вертикали. Вот схема:

Изображение

Уравнение предложенного маятника
$$ml^2\ddot x +Kx-mgl\sin x=Fl$$
Здесь $F$-измеряемая гравитационная сила. Основная фишка в том, что коэффициент упругости $K$ полагается в точности равным $mgl$. Тогда получим
$$\ddot x +\frac{g}{l}(x-\sin x)=\frac{F}{ml},\quad $$.
Упругий момент $\frac{g}{l}(x-\sin x)$ нелинеен и в первом приближении равен $\frac{g}{6l}x^3$. То есть, угловой отклик системы на усилие повышается на 3 порядка. А точное значение положение равновесия как раз и определяется уравнением Динамо: $x-\sin(x)=a$, где $a=\frac{F}{mg}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение10.04.2017, 12:59 


27/02/09
253
Раз функция $\rm Din(x)$ периодическая, отчего бы не разложить её в ряд Фурье...

Поскольку она нечётная, разложение будет содержать только синусы. Обозначим $n$-й коэффициент Фурье через $b_n$, тогда $$b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\rm Din(x)\sin{nx}\,dx$$

(Берём интеграл)

- cинус под дифференциал, и расписываем интеграл по частям: $$b_n=-\frac{1}{\pi{n}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\rm Din(x)d(\cos{nx})=-\frac{1}{\pi{n}}\rm Din(x)\cos{nx}\bigg|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi{n}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\,d(\rm Din(x))$$
Поскольку $\rm Din(-\pi)=\rm Din(\pi)=0$, первое слагаемое равно нулю. Разбираемся со вторым.
По условию, $$\rm Din(x)=\sin(x+\rm Din(x))$$
Обозначим $$t=x+\rm Din(x)$$
Тогда $\rm Din(x)=\sin{t}$ и $x=t-\rm Din(x)=t-\sin{t}$. Делаем в интеграле подстановку $x=t-\sin{t}$, тогда $\rm Din(x)$ превращается в $\sin{t}$, пределы интегрирования не меняются:
$$b_n=\frac{1}{\pi{n}}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nt-n\sin{t})\cos{t}\,dt=\frac{2}{\pi{n}}\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nt-n\sin{t})\cos{t}\,dt,$$
т.к. подынтегральная функция чётная. Поскольку $\cos a\,\cos b=\frac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b))$, интеграл равен
$$\frac{1}{n}\Bigl(\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\cos((n+1)t-n\sin{t})dt+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\cos((n-1)t-n\sin{t})dt\Bigr)$$
Два интеграла в скобках равны функциям Бесселя $J_{n+1}(n)$ и $J_{n-1}(n)$ соответственно.
Пользуемся тем, что $J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)=\frac{2n}{x}J_n(x)$
и получаем $$b_n=2\frac{J_n(n)}{n},$$ Где $J_n$ - $n$-я функция Бесселя $J$.
Итак, $\rm Din(x)$ выражается через паршиво сходящийся ряд:
$$\rm Din(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}2\frac{J_n(n)}{n}\sin{nx}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение10.04.2017, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вот чем плохо писать \rm: все буковки в хвосте формулы портятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение10.04.2017, 16:13 


27/02/09
253

(Оффтоп)

Уже не исправить, увы... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение04.05.2017, 13:10 


21/05/16
4292
Аделаида
А в ряд Тейлора как эта функция раскладывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение05.05.2017, 09:05 


21/05/16
4292
Аделаида
Неопределенный интеграл функции Динамо.
$$S=\int \operatorname{Din}(x) dx$$
Подставим $t=x+\operatorname{Din}(x)$. Тогда $\operatorname{Din}(x)=\sin{t}$ и $x=t-\operatorname{Din}(x)=t-\sin{t}$.
$$S=\int \sin{t}(1-\cos{t}) dt=\int \sin{t} dt - \int \sin{t}\cos{t} dt=-\cos{t}-\frac{\sin^2{t}}{2}=-\cos{(x+\operatorname{Din}(x))}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}= \\

=\begin{cases}
\sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
0,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
-\sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.}
\end{cases}- \\

-\operatorname{Din}^2 (x)\cdot \frac{1}{2}= \\

=\begin{cases}
\sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}=-\frac{\sin^2{((2k+1)\pi+\frac{\pi}{2})}}{2}=-0.5,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
-\sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.}
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение05.05.2017, 12:06 


21/05/16
4292
Аделаида
Исправление:
Неопределенный интеграл функции Динамо.
$$S=\int \operatorname{Din}(x) dx$$
Подставим $t=x+\operatorname{Din}(x)$. Тогда $\operatorname{Din}(x)=\sin{t}$ и $x=t-\operatorname{Din}(x)=t-\sin{t}$.
$$S=\int \sin{t}(1-\cos{t}) dt=\int \sin{t} dt - \int \sin{t}\cos{t} dt=-\cos{t}-\frac{\sin^2{t}}{2}=-\cos{(x+\operatorname{Din}(x))}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}= \\

=\begin{cases}
-\sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
0,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
\sqrt{1-\sin^2 {(x+\operatorname{Din}(x))}},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.}
\end{cases}- \\

-\operatorname{Din}^2 (x)\cdot \frac{1}{2}= \\

=\begin{cases}
-\sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $(2k-1)\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2}=-\frac{\sin^2{((2k+1)\pi+\frac{\pi}{2})}}{2}=-0.5,&\text{если $x+\operatorname{Din}(x)=(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$ или $2k\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$;}\\
\sqrt{1-\operatorname{Din}^2(x)}-\frac{\operatorname{Din}^2 (x)}{2},&\text{если $2k\pi+\frac{\pi}{2}<x+\operatorname{Din}(x)<(2k+1)\pi+\frac{\pi}{2}$, где $k\in Z$.}
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение22.03.2020, 12:46 


21/05/16
4292
Аделаида
Кстати, интересный вопрос возник. Можно ли через $\operatorname{Din}()$ выразить решение уравнения $\sin(x)=ax+b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение22.03.2020, 13:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Оффтоп)

Изобретению велосипеда для решения уравнения Кеплера исполнилось три года...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group