Соответствие между линейными УРЧП и линейными реккурентными

[DLL]

Раскладывая каждый член линейного уравнения в частных производных в ряд тейлора, и группируя члены с одинаковыми степенями разложения, можно установить взаимноодназначное соответствие между любым линейными УРЧП и линейным реккурентным соотношением. Я правильно это понимаю?

[dsge]

DLL в сообщении #1207237 писал(а):

можно установить взаимноодназначное соответствие между любым линейными УРЧП и линейным реккурентным соотношением.

Скорее нет. Нелинейные уравнения тоже можно раскладывать в ряд Тейлора и будут ли полученные "реккурентные соотношения" соответствовать каким-то линейным уравнениям?

[DLL]

А у вас есть пример, когда при разложении нелинейного уравнения, у вас получится линейное реккурентное соотношение?

[dsge]

$\frac{dy}{dx}=y^2$, $y(0)=1$

[Vince Diesel]

DLL в сообщении #1207237 писал(а):

можно установить взаимноодназначное соответствие между любым линейными УРЧП и линейным реккурентным соотношением.

А о чем речь вообще? Вот если взять уравнение Лапласа, какое рекуррентное соотношение ему соответствует?

[dsge]

dsge в сообщении #1207274 писал(а):

$\frac{dy}{dx}=y^2$, $y(0)=1$

Да, здесь будет линейность за исключением соотношения между 1-м и 2-м коэффициентами.
--------
Нет, ошибся, всё будет нелинейным.

[DLL]

Если в
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0,$
подставить
$u = \sum a(i,j) x^i y^j,$
то получится линейное реккурентное соотношение вида
$(i+2)(i+1)a(i+2,j) + (j+2)(j+1)a(i,j+2) = 0.$

[Vince Diesel]

Это для УРЧП с аналитическими коэффициентами? С произвольными же так не получится. И раскладывая уравнение с переменными коэффициентами в разных точках, получим разные рекуррентные соотношения.

[DLL]

Да, коэффициенты аналитические или можно даже полиномы.

[Red_Herring]

Vince Diesel в сообщении #1207293 писал(а):

Это для УРЧП с аналитическими коэффициентами

В принципе, с бесконечно гладкими (можно рассматривать формальные степенные ряды). Но решение может не быть бесконечно гладким.

Но, главное, зачем? Теорема Коши-Ковалевской давно известна, и вне её контекста эти алгебраические упражнения имеют очень мало смысла.

[DLL]

Мне в данном случае интересна именно связь между линейными уравнениями и линейными реккурентными соотношениями, а не решать УРЧП