Римановы поверхности

[Pallant]

DeBill, так понимаю, Вы намекаете, что такая поверхность гомеоморфна сфере (т. е. приводя к каноническому виду, получим сферу без ручек), и что обратное отображение иногда может помочь это увидеть. Например, рассмотрим отображения $w(z)=\sqrt{z}\sqrt{z-1}$ и $\xi(z)=\sqrt{z}$ у которых гомеоморфные модели р.п. с двумя точками ветвления второго порядка. Для отображения $\xi$ обратное $z(\xi)=\xi^2$ определено, очевидно на сфере и так как это гомеоморфизм (?), то найдя обратное отображение, мы нашли гомеоморфное преобразование в сферу р. п.. Для отображения $w$ обратное находим $w^2=z(z-1)$, $\rightarrow$ $z^2-z+\frac{1}{4}=w^2+\frac{1}{4}$, $\rightarrow$ $z=\sqrt{w^2+1/4}+1/2$, и получаем, что обратное определено на такой же р. п..
Наверное глупый вопрос, но мы же рассматриваем на р.п. аналитические функции, и они всегда являются гомеоморфным преобразованием?

Спасибо за наводку на пример из Шабата (правда он у меня в 8 параграфе оказался 3 гл.).

Путаница в обозначениях -- это от того, что на третьей картинке я перешел на другие обозначения.

svv, не знал что есть таки способы представления р.п. Используются ли они в литературе?
Пока что не почувствовал преимущества этих вариантов в полной мере, вроде теряется наглядность на Вашем рисунке. Про куб не понял совсем, если вершины куба -- это полуплоскости, то что сопоставляется точкам ветвления и где находится вещественная ось?

[svv]

Pallant в сообщении #1206872 писал(а):

svv, не знал что есть таки способы представления р.п. Используются ли они в литературе?

Они изобретены по случаю , и в литературе, скорее всего, не используются.

От куба здесь используется только каркас — вершины и рёбра. Вершины — полуплоскости, ребра — склейки. Как каждая вершина куба имеет три смежных, так и каждая полуплоскость склеивается с тремя другими. С одной — между $0$ и $1$, и эта склейка обозначается ребром, параллельным $Ox$. С другой между $1$ и $\infty$ (ребро, параллельное $Oy$), с третьей между $\infty$ и $0$ (ребро, параллельное $Oz$). Так Вы всегда будете знать, куда попадёте из заданной полуплоскости при заданном маршруте.

Может быть, это не настолько наглядно, как хотелось бы, но заметьте, что вот эти вопросы моделька уже снимает:

Pallant в сообщении #1206442 писал(а):

Не понимаю как можно организовать разрезы на 4-х поверхностях. Если склеить две пары, то исключится возможность перехода с одной пары на другую.
Имеете в виду, провести по три разреза на каждой плоскости и по-хитрому склеить?