Терминология в вещественном анализе

[kp9r4d]

Я за "равномерно дискретное", потому что это буквально образ равномерно-непрерывного отображения из дискретного метрического пространства, говоря в более категорных терминах, это вложение дискретного объекта в $\mathbb{R}$ в категории $\mathbf{Met_U}$

[slavav]

Такие множества называются $\rho$-разреженными. Обычно используется $\delta$ вместо $\rho$. Их много в задачах плотной упаковки. Есть одно в вычислительной геометрии (в задаче поиска ближайшей пары в конечном множестве точек на плоскости): докажите что если $S$ - $1$-разреженное множество, а $P$ - прямоугольник размерами 1 на 2, то $\left\lvert S\cap P\right\rvert \leqslant 6$.

[Anton_Peplov]

А если мне не важно конкретное $\delta$? Например, можно ли сказать так: "Теорема. Ограниченное $\delta$-разреженное подмножество $\mathbb R$ конечно" или надо еще добавлять "при любом $\delta>0$"?

[slavav]

Подразумевается что $\delta > 0$. Без этого определение бессодержательно.

[Padawan]

По-моему дискретное множество - это множество, не имеющее предельных точек; равносильно: локально конечное; равносильно: множество, все подмножества которого замкнуты.

[Anton_Peplov]

Ну, с тем, что называется дискретным множеством, уже разобрались:)

[Padawan]

kp9r4d в сообщении #1206170 писал(а):

Я за "равномерно дискретное", потому что это буквально образ равномерно-непрерывного отображения из дискретного метрического пространства

Наоборот, обратное отображение в дискретное метрическое пространство равномерно непрерывно. А из дискретного метрического пространства любое отображение равномерно непрерывно.

-- Вт апр 04, 2017 12:21:35 --

Anton_Peplov в сообщении #1206396 писал(а):

Ну, с тем, что называется дискретным множеством, уже разобрались:)

Видимо, нет общепринятой терминологии. Каждый раз уточнять надо. Видел в одной статье дискрентное множество = множество, любое подмножество которого замкнуто.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1206408 писал(а):

Видел в одной статье дискрентное множество = множество, любое подмножество которого замкнуто.

А верно ли, что если $A \subset X$ дискретно как подпространство $X$, то любое подмножество $A$ замкнуто в топологии $X$?

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1206415 писал(а):

А верно ли, что если $A \subset X$ дискретно как подпространство $X$, то любое подмножество $A$ замкнуто в топологии $X$?

Нет, неверно. И контрпример был уже построен в этой теме.

[Anton_Peplov]

Вот и я об этом же. То есть общепринятой терминологии, похоже, действительно нет.

[kp9r4d]

Padawan в сообщении #1206408 писал(а):

Наоборот, обратное отображение в дискретное метрическое пространство равномерно непрерывно. А из дискретного метрического пространства любое отображение равномерно непрерывно.

Ну да, я неправильно сказал, что хотел сказать. Это должно быть равномерным изоморфизмом, то есть множества, описываемые в стартовом посте являются дискретным объектам в $\mathbf{Met_U}$ (метрических пространств с равномерно непрерывными отображениями в качестве морфизмов). Поэтому я не вижу смысл множить терминологию: если это дискретные объекты в какой-то категории, то надо так и говорить "дискретные объекты в такой-то категории". Можно говорить даже "свободные объекты в такой-то категории", так что уже и так два слова на одну сущность.

[kp9r4d]

И да, помимо всего прочего (вроде того, что при слове "дискретный объект" возникает миллион хороших ассоциаций, утверждений и мнемоник), терминология эта совершенно стандартна: что такое дискретные объекты все хорошие люди знают, а нехороших людей нужно учить быть хорошими ^^

[Someone]

Для подмножества $D$ топологического пространства $X$ мне встречались такие термины:
1) $D$ дискретно в себе, если оно дискретно в топологии подпространства, то есть, для каждой точки $x\in D$ существует такая окрестность $Ux\subseteq X$, что $D\cap Ux=\{x\}$, или, другими словами, $Ux$ не содержит других точек множества $D$;
2) $D$ дискретно в $X$, если для каждой точки $x\in X$ найдётся окрестность $Ux\subseteq X$, которая содержит не более одной точки множества $D$.

В первом случае множество $D$ может иметь предельные точки в пространстве $X$. Во втором случае в $T_1$-пространстве предельных точек не будет, но в общем случае предельные точки могут быть.

На всякий случай: точка $x_0\in X$ называется предельной точкой множества $M\subseteq X$, если каждая окрестность точки $x_0$ содержит хотя бы одну точку множества $M$, не совпадающую с точкой $x_0$.
Кстати, этого вполне достаточно, чтобы определение предела $\lim\limits_{x\to x_0}fx$ было осмысленным.

И ещё. В одной древней статье мне встречалось такое определение дискретного пространства: топологическое пространство называется дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств является открытым.
Это определение в случае $T_1$-пространств эквивалентно обычному (все точки являются изолированными), но в общем случае — нет. Например, любое конечное топологическое пространство является дискретным в этом смысле.

[kp9r4d]

Если что, я говорил про это определение.

[Someone]

(kp9r4d)

kp9r4d в сообщении #1206667 писал(а):

Если что, я говорил про это определение.

А я Вам и не возражал. Просто проинформировал вопрошающих о существующих в общей топологии определениях.