2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 16:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Metford
Попробуйте вместо $\delta(x)$ рассматривать $\delta_\varepsilon (x)$ -- некоторую "почти" дельта-функцию: неотрицательную, равную нулю вне интервала $(-\varepsilon, \varepsilon)$ и с интегралом, равным единице. Если те функции, которые Вы пишите при $\varepsilon\to 0$ стремятся к тому, чему Вы хотите, то все ОК. Если перемножается несколько дельта-функций, то эпсилон у каждой своя.

-- Пн апр 03, 2017 19:51:03 --

Munin в сообщении #1206191 писал(а):
Metford в сообщении #1206164 писал(а):
Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца
$$\rho=\lambda\delta\left(r-\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}\right).$$

А вот это, кстати, плохо.

С эллипсом надо аккуратнее, на него можно нанести разную плотность. Та, которую вы привели, - наиболее странная. На пальцах, она присваивает одинаковые заряды одним и тем же угловым участкам $d\varphi.$

Объясните, пожалуйста, почему Вы так считаете. Мне тоже кажется, что такая плотность мера не пропорциональна длине дуги, но и $d\varphi$ тоже непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #1206191 писал(а):
На пальцах, она присваивает одинаковые заряды одним и тем же угловым участкам $d\varphi.$

Не совсем. Поскольку элемент площади $rdr d\varphi$, то "плотность" относительно угла будет пропорциональна $r$.

-- 03.04.2017, 09:21 --

Padawan в сообщении #1206199 писал(а):
Попробуйте вместо дельта рассматривать -- некоторую "почти" дельта-функцию:
Правильно, чтоб ТС служба мёдом не казалась и задача посложней была.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Munin в сообщении #1206191 писал(а):
Можно "покрасить" эллипс равномерной линейной плотностью. Но это ещё неестественней.

Наиболее естественными плотностями на эллипсе будут те, которые получаются из плотностей, скажем, эллиптического кольца, с шириной, стремящейся к нулю. (Внутри кольца плотность равномерная.) Тут можно взять два варианта: либо софокусные эллипсы, либо подобные эллипсы. В одном случае, заряд будет больше на "боках", в другом - на "остриях".

Ну, я ведь не говорю о том, что естественнее. Могу я поставить формальную задачу о записи объёмной плотности заряда для равномерно заряженного эллипса?
Red_Herring в сообщении #1206193 писал(а):
А у эллипса надо домножать первоначальную плотность на $ds/rd\varphi
$, где $ds$ элемент длины эллипса, параметризованного углом.

Так. Вот этого пока не осмыслил... Хотя нет. Это чтобы на каждую элементарную дугу одинаковый заряд приходился.
Padawan в сообщении #1206199 писал(а):
Попробуйте вместо $\delta(x)$ рассматривать $\delta_\varepsilon (x)$ -- некоторую "почти" дельта-функцию: неотрицательную, равную нулю вне интервала $(-\varepsilon, \varepsilon)$ и с интегралом, равным единице.

А вроде бы я Вам ничего плохого не делал... Уж очень громоздко будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вот я чувствовал, что надо посчитать потщательнее.

-- 03.04.2017 18:18:09 --

Metford в сообщении #1206245 писал(а):
Могу я поставить формальную задачу о записи объёмной плотности заряда для равномерно заряженного эллипса?

Можете, но сначала вам надо определиться для себя, что такое равномерно заряженный эллипс?

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 18:28 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Metford в сообщении #1206245 писал(а):
А вроде бы я Вам ничего плохого не делал... Уж очень громоздко будет.

Совсем нет. Расставляете пределы в полярных координатах. Вроде все сворачивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #1206252 писал(а):
Можете, но сначала вам надо определиться для себя, что такое равномерно заряженный эллипс?

Вероятно, имеется в виду, что линейная плотность постоянна (т.е. имеется равномерно заряженная диэлектрическая проволока в форме эллипса). Но это уже дело ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе? То есть, сила, действующая на каждый заряд должна быть перпендикулярна эллипсу. Закон силы 2-мерный или 3-мерный (боюсь, тут решение будет некрасиво, но можно найти красоту на эллипсоиде).

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
заряд на участке $\varphi\in [\alpha,\beta]$
$\int\limits_\alpha^\beta d\varphi \int\limits_0^{+\infty} \delta_\varepsilon(r-r(\varphi)) r dr\to \int\limits_\alpha^\beta r(\varphi) d\varphi$ при $\varepsilon\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1206267 писал(а):
Вероятно, имеется в виду, что линейная плотность постоянна

Именно. Я где-то выше об этом говорил. Сейчас посчитаю с учётом Вашего уточнения - посмотрю, что получится.

Munin в сообщении #1206272 писал(а):
Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе?

Любопытно. Не помню, чтобы мне встречалась такая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Munin в сообщении #1206272 писал(а):
Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе? То есть, сила, действующая на каждый заряд должна быть перпендикулярна эллипсу. Закон силы 2-мерный или 3-мерный (боюсь, тут решение будет некрасиво, но можно найти красоту на эллипсоиде).
Об этом я уже упоминал, но опять-таки тот же вопрос: идет ли речь о проволочном эллипсе, или бесконечно тонком и очень узком вырезанном из металла (тогда играет роль, будет ли он между двух подобных, или двух софокусных, или .... )

Если речь идет о проволочном эллипсе постоянной толщины, $ \varepsilon\to 0$ , то линейная плотность заряда будет постоянной с точностью до $o(1)$. Дело в том, что такой пруток будет иметь энергию $$\frac{1}{2}\ln \varepsilon  \int \rho^2\, ds + O(1)$$
Эта задача родственна задаче о распределении заряда в тонком прутке (на концах плотность выше но м.б. раза в 2).

-- 03.04.2017, 11:14 --

Metford в сообщении #1206277 писал(а):
посмотрю, что получится

$ds/d\varphi =\sqrt{r^2 + (dr/d\varphi)^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1206272 писал(а):
Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе?
Могу, как всегда, соврать, но по-моему, задача сводится к конформному отображению окружности на эллипс.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1206279 писал(а):
$ds/d\varphi =\sqrt{r^2 + (dr/d\varphi)^2}$

За это, конечно, спасибо, но эту формулу я знаю :-) Я имел в виду весь расчёт до конца. Я его сейчас доделал - получилось всё, как нужно. Спасибо большое, Red_Herring! Долго бы искал свою ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
amon в сообщении #1206284 писал(а):
Могу, как всегда, соврать, но по-моему, задача сводится к конформному отображению окружности круга на эллипс (внутренность).
Это было бы так, если бы задача была двумерной, но она трехмерная. См мою добавку выше о "почти" равномерном заряде.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
amon в сообщении #1206284 писал(а):
Могу, как всегда, соврать, но по-моему, задача сводится к конформному отображению окружности на эллипс.

Точно, да. В двумерном случае - т.е. для эллиптического цилиндра получится. По-моему там отображение Жуковского используется. Будет
$$\sigma=\frac{\lambda}{2\pi\sqrt{a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi}}.$$
Уж без дельта-функции пишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #1206279 писал(а):
Об этом я уже упоминал, но опять-таки тот же вопрос: идет ли речь о проволочном эллипсе, или бесконечно тонком и очень узком вырезанном из металла (тогда играет роль, будет ли он между двух подобных, или двух софокусных, или .... )

Э нет, а вот тут как раз без разницы :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group