2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение31.03.2017, 22:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(А-Р)

vpb в сообщении #1205475 писал(а):
Насчет книги Айерлэнда-Роузена. Я думаю, что знакомиться по ней с конечными полями -- неправильно.
ИМХО как раз именно познакомится, а не методически учить всю теорию - в самый раз можно.

vpb в сообщении #1205475 писал(а):
Так вот, А-Р это по теории чисел
Ну да. А $\mathbb{Z}_p$ - действительно очень теоретико-числовой объект.

vpb в сообщении #1205475 писал(а):
Притом уже заранее предполагается некоторое знакомство с курсом алгебры. Но кое-что из алгебры они и сами доказывают. Но их доказательства -- это в основном скомканные, и оттого малопонятные (а то и просто недостаточные), версии рассуждений из книжек по алгебре.
А давайте конкретный пример разберем "скомканного" доказательства?

vpb в сообщении #1205475 писал(а):
Притом этот сюжет в книжке аж в 7-й главе, значит придется читать 6 глав по теории чисел, совсем не тривиальных (в которых, заметим, тоже много замечательного, например оценка для $\pi(x)$, функции распределения простых.
Да копец какое горе: глава1 называется "Однозначное разложение на множители". Такая офигеть какая сложная тема. Глава 2 касается распределения простых - можно смело пропустить. Глава 3 "Сравнения". Невероятно сложная тема! Я думал Munin это все вообще читать не будет.
Там читать-то 1-2 дня.

vpb в сообщении #1205475 писал(а):
Короче, для знакомства с конечными полями путь, практически геодезический, содержится в ван дер Вардене (главы 1--3, а затем некоторое подмножество в главах 4--6).
Под знакомством здесь конечно же понимается такое нормальное университетское "Введение в", причем с гАтическимим букафками, у которых отсканированное $\mathfrak{G}$ от $\mathfrak{E}$ не отличается (а именно эти буквы используются чуть ли не в самом начале для работы с подгруппами, чтобы читателя добить окончательно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение01.04.2017, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Munin в сообщении #1205507 писал(а):
О.

И есть оно без ссылок :-)

Это называется фробениусова нормальная форма.

-- 31.03.2017, 23:31 --

Идея простая очень, мы представляем поле $\mathbb{Q}[2^{1/3}]$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$ с базисом $e_1=1, e_2=2^{1/3}, e_3 = 2^{2/3}$. Теперь посмотрим как в этом базисе будет действовать оператор $T$ "умножение на $2^{1/3}$". Ну понятное дело $T e_1 = e_2, T e_2 = e_3, T e_3 = 2 e_1$, поэтому матрица $T$ в этом базисе запишется понятно как (единицы на побочной нижней диагонали, и 2 в правой верхней клетке) Ну и на самом деле поле $\mathbb{Q}[2^{1/3}]$ теперь можно мыслить как поле $\mathbb{Q}[T]$, т.е. все линейные комбинации с коэффициентами из $\mathbb{Q}$ с операторами (или матрицами) $1,T,T^2$. Ну и понятно, что такую же штуку с любым многочленом можно сделать, не только с $x^3-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение01.04.2017, 02:03 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Sonic86,
поскольку я уже не молод, и к тому же довольно давно занимаюсь алгеброй, мне Ваш тон не очень приятен.
Тем не менее, вот пример "скомканного" доказательства. Прямо с начала главы 7. Будучи написано нормально, если писать так, как в ван дер Вардене или во "Введении в алгебру", первое предложение и то, что перед ним, выглядело бы так:
" Пусть $F$ --- некоторое конечное поле из $q$ элементов. Мультипликативная группа $F^\ast$ поля $F$ имеет $q-1$ элементов. Поэтому каждый элемент $\alpha\in F^\ast$ удовлетворяет уравнению $x^{q-1}=1$, в силу теоремы Лагранжа (здесь $1$ обозначает мультипликативную единицу поля $F$, а не целое число 1), а каждый элемент из $F$, следовательно --- уравнению $x^q=x$.
Предложение 7.1.1. В кольце $F[x]$ имеет место равенство $x^q-x=\prod_{\alpha\in F}(x-\alpha)$.
Доказательство. Поскольку каждое $\alpha\in F$ является корнем многочлена $x^q-x$, последний многочлен делится на $x-\alpha$ в кольце многочленов. Поэтому он делится и на $\prod_{\alpha\in F}(x-\alpha)$. Сравнивая степени и замечая, что старшие коэффициенты в обоих многочленах равны 1, заключаем, что на самом деле имеет место равенство. $\square$ "

Это для примера, самое простое и первое утверждение. Дальше изложение "комкается" еще сильнее. Одновременно всё время неявно предполагается довольно хорошее знакомство с алгеброй (или, можно сказать, "знание алгебры", если Вас это больше устраивает), с системой понятий и строем мыслей в ней.

Оставшиеся Ваши аргументы имеют "юмористический" характер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение01.04.2017, 12:51 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Munin в сообщении #1205507 писал(а):
И есть оно без ссылок :-)

Собственно, ссылки уже были - Лидл и Нидеррайтер, вторая глава. Идея в общем простая. Пусть есть неприводимый многочлен $f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + x^n \in \mathbb{F}_p[x]$. Составим матрицу
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & \ldots & -a_{n-1}
\end{pmatrix}
$$
Тогда в качестве поля $\mathbb{F}_{p^n}$ можно взять нулевую матрицу и все степени матрицы $A$ (мультипликативная группа - циклическая). По сути здесь в качестве присоединяемого корня многочлена $f(x)$ выступает матрица $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение01.04.2017, 13:05 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Munin, можете посмотреть прилагаемые лекции. Это моя попытка (в нескольких процентах случаев удачная) адаптировать базовые разделы книжки Лидла и Нидеррайтера для наших студентов.


Вложения:
Finite_Field_Lectures.pdf [540.26 Кб]
Скачиваний: 118
 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение01.04.2017, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Господа, всё, больше предложений литературы не принимается. Переполнение.

-- 01.04.2017 15:23:46 --

kp9r4d в сообщении #1205558 писал(а):
Идея простая очень

Спасибо, ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение02.03.2018, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пара мелких вопросов.

Верно ли, что все (конечномерные) расширения колец - это кольца многочленов, и их факторкольца?

Верно ли, что все (конечномерные) расширения полей - это поля частных от вышеперечисленных колец?

Если да, то какого чёрта это не упоминается во всех учебниках...

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение02.03.2018, 19:56 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Рассмотрим, например, кольцо $\matbb Z$ и кольцо квадратных матриц 2 на 2 с целыми коэффициентами. Скалярные матрицы образуют подкольцо, изоморфное $\matbb Z$.
Но кольцо многочленов над $\matbb Z$ (и его факторкольца) коммутативны. А кольцо матриц - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение02.03.2018, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хм-м-м. Только мне показалось, что я напоролся на мотивацию всей этой шумихи вокруг многочленов, как...

Спасибо. "Будем искать".

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение02.03.2018, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #1295250 писал(а):
Только мне показалось, что я напоролся на мотивацию всей этой шумихи вокруг многочленов, как...


Ну для коммутативных-то колец это верно. Более того, второе следует из первого, и даже поля частных для этого не нужны (любое конечномерное расширение поля является фактором кольца многочленов над этим полем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение03.03.2018, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ой! Ещё добавлю, что я имел в виду кольца с единицей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение13.10.2019, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials_over_finite_fields
    Цитата:
    On every other finite field,.. the product of two non-squares is a square
Почему???

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение13.10.2019, 01:33 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Munin в сообщении #1420431 писал(а):
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials_over_finite_fields
    Цитата:
    On every other finite field,.. the product of two non-squares is a square
Почему???

Пусть $K$ это конечное поле характеристики $p \ne 2$ из $q$ элементов (при $p=2$ каждый элемент это квадрат). Посмотрим на многочлен $x^{\frac{q-1}{2}}$. В квадрате он равен $x^{q-1},$ но порядок мультипликативной группы $q-1,$ поэтому на ненулевых элементах $y$ имеем $y^{q-1} = 1,$ таким образом, (поскольку в поле работает теорема Безу и многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней) многочлен $x^{\frac{q-1}{2}}$ принимает значения $-1$ и $1$. Заметим, что на квадратах он принимает значение $1.$ Чтобы понять, что на неквадратах он принимает значение $-1,$ достаточно показать, что ненулевые квадраты составляют подгруппу индекса $2$ в $K^*.$ Действительно, рассмотрим отображение $K^* \to K^*$, заданное правилом $x \to x^2.$ Образ это в точности подгруппа квадратов, при этом прообраз каждого квадрата содержит ровно $2$ точки, поскольку иначе полином $x^2 - a$ имел бы более двух корней для некоторого $a$ (хотя бы $2$ точки он уж точно содержит, поскольку если $t$ в прообразе, то и $-t$ тоже, а у нас $t \ne -t$). Таким образом мы вывели критерий того, что элемент $s \in K^*$ является неквадратом: необходимо и достаточно выполнение равенства $s^{\frac{q-1}{2}} = -1,$ а теперь если подставить произведение двух неквадратов, то справа будет произведение двух минус единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение13.10.2019, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это слишком круто, надо подумать.

А я пока по-другому сообразил.
    Sonic86 в сообщении #1204847 писал(а):
    мультипликативная группа конечного поля $\mathbb{Z}_p^\times$ (и даже $\mathbb{F}_{p^n}^\times$) циклична
и поскольку мы не рассматриваем $\operatorname{char}K=2,$ то эта циклическая группа - чётного порядка $q-1=2k,$ и для неё $2(\mathbb{Z}/2k\mathbb{Z})\to\mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$ А значит, в последнем гомоморфизме квадраты отображаются в $0,$ а неквадраты в $1,$ а их произведение очевидно даёт $1+1=0.$

Правильно?

-- 13.10.2019 01:53:46 --

Хм, в чём-то это почти то же самое, но многочленные соображения меня сбивают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поля остатков: пара вопросов начинающего
Сообщение13.10.2019, 02:15 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Munin в сообщении #1420436 писал(а):
Правильно?

Ага.
Munin в сообщении #1420436 писал(а):
Хм, в чём-то это почти то же самое, но многочленные соображения меня сбивают.

Да, буквально то же самое, просто без знания о цикличности. Она в Вашем рассуждении по делу, поскольку без неё было бы непонятно, что подгруппа $2 K^*$ (в аддитивной нотации) имеет индекс 2, например. Вдруг она вся из $2$-кручения состоит?..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group