Найти выражение для интеграла

[shukshin]

Добрый вечер, уважаемые участники форума!
Как посоветуете вычислять вот такой интеграл:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1 + Ax^2)^\frac {N-1}{2}} \exp{(-\frac{Bx^2}{1+Ax^2})} \exp{(-Cx^2)} dx$

$A, B, C$-действительные, положительные, $N$ - целое, положительное, $N \geq 3$

Ну то есть, мне его даже не взять нужно(наверняка он в элементарных функциях не берется), а скорее представить в виде какого-нибудь ряда, желательно быстро сходящегося для вычислений на компьютере.
Я могу, конечно, сразу вписать ряды для экспонент, но это будет ужасно.

[Ms-dos4]

shukshin
А почему не подходит вариант тупо считать численно с конкретными константами?
P.S. Можно, конечно, подобрать интерполяционные функции на результат, т.к. интеграл является монотонно убывающей функцией всех параметров, но всё равно это извращение.

[shukshin]

Ms-dos4, ну да, наверное к этому все идет,
надо только пределы поменять для конечности интервала, и тут замена
$t = \frac {x^2}{1 + Ax^2}$ будет симпатично смотреться. есть ли что-то конструктивнее?

[Vince Diesel]

Матпакеты и с бесконечными пределами без проблем посчитают. И с любой точностью. Или взять прямо отрезок $Cx^2\le100$, поскольку экспонента на бесконечности быстро убывает.

[sergei1961]

Если банальный способ попробовать, соединить две экспоненты под знаком интеграла в одну, разложить её в ряд и попробовать посчитать интегралы от дробей...?

[ewert]

Вот опять в ряд. Плохо раскладывать экспоненту с большими показателями в ряд, тем более с большими отрицательными.

Отрубить же хвост (как предлагал Vince Diesel, только не так грубо) и применить к оставшемуся любую квадратурную формулу -- стратегия вполне разумная. Для столь быстро убывающей подынтегральной функции. Во всяком случае, если не нужна слишком уж большая точность -- если не нужно выжимать все соки до исчерпания машинной.

[shukshin]

ewert, мне как раз точность достаточно важна.
В итоге я остановился на варианте с переходом к интервалу $[0;1]$ с помощью замены.
Подынтегральное выражение там получается приемлимым.
Впрочем вариант "без хвостов" буду держать в памяти, на всякий случай.

[sergei1961]

ewert --- согласен, в ряд было неудачное предложение.