2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Снова числа и снова по кругу
Сообщение09.02.2016, 17:00 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
(по презюмируемым мотивам задачи A.Shapovalov)

При каких $n>3$ можно расставить целые числа от 1 до $n$ по кругу так, чтобы сумма каждых трёх идущих подряд чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение26.03.2017, 14:36 


10/03/17
26
Не существует таких n.
Потому-что при n=4 не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение26.03.2017, 17:58 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Albert61 в сообщении #1203656 писал(а):
Не существует таких n.
Потому-что при n=4 не верно.

Почему из этого следует что нет решения для больших $n$?

-- 26.03.2017, 18:00 --

Проверил вручную 4, 5, 6, 7. Решений нет. Перебор для семи получился довольно глубокий. Например: 5 6 3 7 4 2 1.

-- 26.03.2017, 18:14 --

Для 8 нет решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение27.03.2017, 00:35 
Заслуженный участник


26/05/14
981
До 36 нет решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение27.03.2017, 09:10 
Заслуженный участник


26/05/14
981
До 41 нет решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение27.03.2017, 11:26 
Заслуженный участник


26/05/14
981
До 44 нет решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 07:50 


10/03/17
26
slavav в сообщении #1203738 писал(а):
Albert61 в сообщении #1203656 писал(а):
Не существует таких n.
Потому-что при n=4 не верно.

Почему из этого следует что нет решения для больших $n$?

-- 26.03.2017, 18:00 --

Проверил вручную 4, 5, 6, 7. Решений нет. Перебор для семи получился довольно глубокий. Например: 5 6 3 7 4 2 1.

-- 26.03.2017, 18:14 --

Для 8 нет решений.

Допустим что существует k>n,тогда по условию задачи должны выполняться для n=4,но это невозможно.
Либо я условия не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Albert61 в сообщении #1204244 писал(а):
Допустим что существует k>n,тогда по условию задачи должны выполняться для n=4,но это невозможно.
Вот задача попроще.
Можно ли для $n\ge 3$ по кругу расставить $n$ чисел так, чтобы чётные и нечётные строго чередовались? Ваш ответ: нет нельзя -- три числа так расставить нельзя, значит, больше трёх тоже нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 09:41 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Новости: до 51 решений нет.
На титул "самая совершенная перестановка" претендует: $1, 16, 15, 2, 11, 14, 9, 17, 10, 6, 3, 19, 4, 13, 18, 5, 12, 7, 8$.
В ней делимость нарушается только в одном месте: $8 + 1 + 16$ не делится на $15$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
slavav
При других $n$ (кроме 7 и 19) подходящих линейных цепочек не было? Это может быть и само по себе интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 10:17 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Их много если рассматривать не закольцованный кортеж (отброшены три соотношения пересекающие границу кольца).
Для этой задачи я ищу только цепочки начинающиеся с единицы. Таких не много для $n \leqslant 51$:
1, 3, 4, 2
1, 4, 3, 2
1, 6, 5, 4, 3, 2
1, 5, 6, 3, 7, 4, 2
1, 5, 6, 3, 7, 2, 4
1, 2, 9, 4, 5, 6, 3, 7, 8
1, 2, 9, 4, 5, 3, 6, 7, 8
1, 10, 7, 3, 4, 2, 9, 5, 8, 11, 6
1, 9, 10, 5, 6, 3, 2, 11, 8, 7, 13, 4, 12
1, 10, 13, 4, 3, 2, 9, 7, 6, 11, 8, 5, 12
1, 10, 13, 12, 7, 8, 3, 9, 4, 2, 5, 11, 6
1, 16, 17, 2, 5, 6, 13, 8, 9, 15, 4, 14, 3, 7, 12, 11, 10
1, 12, 17, 10, 3, 6, 19, 2, 9, 5, 16, 15, 18, 7, 8, 11, 13, 4, 14
1, 16, 15, 2, 11, 14, 9, 17, 10, 6, 3, 19, 4, 13, 18, 5, 12, 7, 8
1, 10, 12, 23, 5, 8, 6, 19, 3, 14, 9, 13, 18, 20, 17, 11, 16, 22, 7, 15, 2, 4, 21
1, 10, 12, 23, 5, 8, 6, 19, 3, 14, 9, 13, 18, 20, 17, 11, 16, 22, 7, 15, 4, 2, 21

Цепочек которые начинаются с других номеров гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Спасибо!
slavav в сообщении #1204262 писал(а):
Цепочек которые начинаются с других номеров гораздо больше.
Да, это понятно. Но думаю, что и они скоро закончатся (если не уже).

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 12:05 


10/03/17
26
grizzly в сообщении #1204251 писал(а):
Albert61 в сообщении #1204244 писал(а):
Допустим что существует k>n,тогда по условию задачи должны выполняться для n=4,но это невозможно.
Вот задача попроще.
Можно ли для $n\ge 3$ по кругу расставить $n$ чисел так, чтобы чётные и нечётные строго чередовались? Ваш ответ: нет нельзя -- три числа так расставить нельзя, значит, больше трёх тоже нельзя.

Автор Задачи пишет,каждых.
в чём проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Albert61 в сообщении #1204284 писал(а):
в чём проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова числа и снова по кругу
Сообщение28.03.2017, 12:23 


10/03/17
26
grizzly в сообщении #1204289 писал(а):
Albert61 в сообщении #1204284 писал(а):
в чём проблема?

Берём произвольного нат.число больше 4,любые 3 послед.нат.числа должны делиться на след,1+2+3 $\mid$ 4 ?
это необходимое условие

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group