2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 05:58 


21/05/16
4292
Аделаида
ABCD - прямоугольник. Есть точки Е и F на сторонах AD и DC соотвественно. Площади треугольников ABE, FBC и EDF - 40, 11 и 3 квадратных единиц соотвественно. Найти площадь прямоугольника.
Пробовал делать так:
Сначала обозначаю: [CD]=a, [AD]=b, [ED]=c, [FD]=d, $S_{BEF}=x$.

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 b(a-d)=80 \\
 a(b-c)=22 \\
 cd=6 \\
 ab=3+40+11+x \\
 x=\sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}(\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}-\sqrt{c^2+d^2})(\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}-\sqrt{(a-d)^2+b^2})(\frac{\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(a-d)^2+b^2}+\sqrt{(b-c)^2+a^2}}{2}-\sqrt{(b-c)^2+a^2})}
\end{array}
\right.$$
Но я не могу решить эту систему!

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 07:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вы неудачно обозначили отрезки :-(
Вот как попробовал я: $AB=CD=a;BC=AD=b;ED=x;FD=y$
Из условий получаем: $a(b-x)=80;b(a-y)=22;xy=6.$
А что надо найти? Вовсе не $x$ и $y$, а $ab$!
И всё!

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 07:54 


21/05/16
4292
Аделаида
gris в сообщении #1203296 писал(а):
Да и системы нет никакой :-(

Почему нет? Пять уравнений и пять неизвестных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 08:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Увидел систему процитировав Ваше сообщение. До этого она как-то плохо у меня отображалась. Да и сейчас что-то не отображается :-(
Я о чём: что не надо находить то, что не просят. Да и найти невозможно, как мне кажется.
Последнее уравнение у Вас следует из первых четырёх (при некоторых оговорках). Поэтому система переполнена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 08:42 
Аватара пользователя


29/04/13
7126
Богородский
kotenok gav
Забудьте пока про формулу Герона. Она здесь не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 13:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не надо двух сторон прямоугольника -- достаточно считать, что это квадрат со стороной $a$. Тогда $\frac{S_{FBC}}{S_{ABE}}=\frac{x}y=\frac{11}{40}$ и $\frac{S_{EDF}}{S_{ABE}}=\frac{(a-x)(a-y}{ax}=\frac3{40}$. Система однородна, поэтому из неё легко получается квадратное уравнение (причём хорошее) для отношения $\frac{x}a$, а больше ничего и не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 14:19 


03/06/12
2742
ewert в сообщении #1203361 писал(а):
Не надо двух сторон прямоугольника -- достаточно считать, что это квадрат со стороной $a$

Хм, что-то тут проективным преобразованием попахивает, что для, скажем, восьмиклассника не очень желательно. А чем это
gris в сообщении #1203296 писал(а):
Вот как попробовал я: $AB=CD=a;BC=AD=b;ED=x;FD=y$
Из условий получаем: $a(b-x)=80;b(a-y)=22;xy=6.$
А что надо найти? Вовсе не $x$ и $y$, а $ab$!

плохо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 14:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sinoid в сообщении #1203379 писал(а):
Хм, что-то тут проективным преобразованием попахивает, что для, скажем, восьмиклассника не очень желательно.

Каким проективным? Просто при одновременном растяжении вдоль одной стороны и таким же сжатием вдоль другой все площади сохраняются. Что может быть очевиднее?

Sinoid в сообщении #1203379 писал(а):
плохо?

Не плохо. В сущности, это примерно то же (только иксы с игреками выбраны иначе). Но это ещё далеко не всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я попросту раскрыл скобки, выполнил переносы, почастное умножение и подставил $6$ куда надо. И переобозначил $x=ab$. Что надо было сделать с самого начало. Ибо полезно обозначать через $x$ именно то, что надо найти, чтобы потом не путаться. И в хорошем квадратном уравнении отмёл один нехороший корень. А сами длины отрезков найти нельзя, ибо растяжение и сжатие, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 17:58 
Аватара пользователя


29/04/13
7126
Богородский
gris в сообщении #1203401 писал(а):
А сами длины отрезков найти нельзя, ибо растяжение и сжатие, да.

Нашёл длины всевозможных отрезков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 18:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
ewert в сообщении #1203388 писал(а):
Просто при одновременном растяжении вдоль одной стороны и таким же сжатием вдоль другой все площади сохраняются.
Тем не менее, обладая телепатическими способностями, можно сказать, какой вариант использовали авторы в качестве «отладочного»:
$AB=8, BC=11, CF=2, FD=6, AE=10, ED=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я тоже находил для уверенности. Считаются только целые значения! Всего один вариант :-(
$(8,11,1,6)$
Интересно, можно ли придать какой-то геометрический смысл решению $ab=20$. Например, вариант $(-4,-5, 15,0.4)$ алгебраически подходит, но как его приспособить?
O! Я не одинок!

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 19:04 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
gris в сообщении #1203441 писал(а):
Интересно, можно ли придать какой-то геометрический смысл решению $ab=20$.
Вот так, например:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 20:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #1203401 писал(а):
Я попросту раскрыл скобки, выполнил переносы, почастное умножение и подставил $6$ куда надо. И переобозначил $x=ab$.

В Вашей версии, по-моему, проще разделить всё на $ab$. Получится система из двух уравнений для неизвестных $s=\frac{x}a$ и $t=\frac{y}b$, сводящаяся к квадратному, и что $s$, что $t$ сразу дают коэффициент для общей площади. А как получить квадратное сразу для $ab$ -- не знаю; а без квадратного уравнения, естественно, никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площади трёх треугольников
Сообщение25.03.2017, 21:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я так решал. Пусть $AB=a, BC=b, CF=\lambda a, AE=\mu b$. Обозначим ещё $S=ab$. Тогда
$2S_{ABE}=\mu S=80$
$2S_{FBC}=\lambda S=22$
$2S_{EDF}=(1-\mu)(1-\lambda)S=6$
Выражаем из первых двух уравнений $\mu$ и $\lambda$, подставляем в третье, получаем квадратное уравнение для $S$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 65 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group