2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 07:21 


30/08/13
313
Munin в сообщении #1183343 писал(а):
Цепочка мощностей $\aleph_0,2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}},\ldots$ образует бесконечную последовательность. Именно по доказательству Кантора ("лестница Кантора").

Внимание: эта цепочка по сути не совпадает с цепочкой $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ - в которой просто перечислены последовательные бесконечные мощности. То есть, может совпадать, а может и не совпадать. И это не какой-то неизвестный математический факт, а это решаем мы сами.


Очень интересное утверждение. Хотя бы ссылку дали , что почитать, а то, как я это решать буду, мне совершенно непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 08:03 


12/08/14
189
Похоже надо гуглить что-то вроде ординалы, кардиналы. Множества одного порядкового числа равномощны, обратное верно не всегда, отсюда возникает произвол в решение. Могу ошибаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 08:14 


30/08/13
313
Взаимно однозначное соответствие -обьективно.
И откуда мы можем придумать промежуточные мощности? чтобы оно (взаимно однозначное соответствие) или было или нет
по моей прихоти .
Наверно я что-то недопонимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1407
yafkin в сообщении #1201985 писал(а):
Взаимно однозначное соответствие -обьективно.

Возьмём кардинал $\aleph_1$ (он определяется как множество не более чем счётных ординалов, или как мощность этого множества) и возьмём континуум $\mathfrak{c}$ (определяемый как мощность $\mathbb{R}$ или как мощность булеана счётного множества).
И здесь такая штука.
Имеющимися математическими средствами невозможно ни построить взаимно-однозначное соответствие между $\aleph_1$ и $\mathfrak{c}$ (и тем самым доказать, что $\aleph_1=\mathfrak{c}$), ни построить множества промежуточной мощности между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ (и тем самым доказать, что $\mathfrak{c}>\aleph_1$).
И это доказано, что это невозможно.

Мы можем считать, что взаимно однозначное соответствие между $\aleph_1$ и $\mathfrak{c}$ существует, только оно настолько сложное, что нам его никогда не построить и не пощупать руками. Считая так, мы не рискуем прийти к противоречию.

Но также мы можем считать, что взаимно однозначного соответствия нет, а вместо него есть множества промежуточной мощности между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$. Опять же, в этом случае эти множества настолько сложны, что мы их никогда не сможем построить имеющимися математическими средствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 11:14 


30/08/13
313
Так этот факт большее основание для того, чтобы относится осторожно, чем что-то выбирать самому.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 11:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1407
yafkin в сообщении #1202016 писал(а):
Так этот факт большее основание для того, чтобы относится осторожно, чем что-то выбирать самому.

Это зависит от философской позиции.
Можно считать, что в математике есть объективность: либо на самом деле $\aleph_1=\mathfrak{c}$, либо на самом деле $\aleph_1<\mathfrak{c}$ - хотя нам этого и не дано узнать. Тогда да, надо относиться осторожно.
Есть другая позиция - в математике объективности нет, поскольку и $\aleph_1$ и $\mathfrak{c}$ - не более чем наша выдумка, логическая конструкция. Тогда ничего не мешает "додумать" эту выдумку так, как хочется - но, конечно, так, чтобы конструкция оставалась логической, без противоречий.
На самом деле эти позиции никак не влияют на работу математика и даже не очень друг другу противоречат. Если даже я стою на первой позиции, мне может быть интересно узнать, а что было бы, если $\aleph_1=\mathfrak{c}$, а также что было бы, если $\aleph_1<\mathfrak{c}$.

Лично мне (чисто эстетически) ближе первая позиция, и я не стал бы говорить в устной речи, что "это решаем мы сами", какому кардиналу равен континуум.
Мне не кажется таким уж невероятным, что в будущем к аксиомам ZFC добавят новые аксиомы, выражающие новые способы построения множеств, востребованных в математике будущего. И с помощью этих аксиом мы сможем уже либо доказать гипотезу континуума, либо её опровергнуть.

Но на данный момент разница между "выбирать самим" и "проявлять осторожность" - по сути, чисто эстетическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14414
Новомосковск
Mikhail_K в сообщении #1202040 писал(а):
Это зависит от философской позиции.
Можно считать, что в математике есть объективность: либо на самом деле $\aleph_1=\mathfrak{c}$, либо на самом деле $\aleph_1<\mathfrak{c}$ - хотя нам этого и не дано узнать. Тогда да, надо относиться осторожно.
Когда-то давным давно я тоже думал, что математика изучает нечто такое, что "существует" само по себе, и поэтому объективно.

Однако со временем я понял, что это не так. Математика изучает логические конструкции, а они таковы, какими мы их придумали. Из-за требования логической непротиворечивости свойства логических конструкций не совсем произвольны, но определённый произвол всё-таки есть.

К. Гёдель построил модель теории множеств, в которой для любого бесконечного кардинала $\tau$ между $\tau$ и $2^{\tau}$ нет никаких кардиналов (так называемый конструктивный универсум). В частности, между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$ нет никаких кардиналов.
Позже Дж. П. Коэн построил модель, в которой, наоборот, между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$ есть промежуточные кардиналы.

Поэтому мы имеем полное право считать, что промежуточные кардиналы есть, и не меньшее право считать, что их нет, ибо для обоих предположений предъявлены ситуации, когда эти предположения истинны. Но, разумеется, мы должны строго следить, когда мы предполагаем одно, и когда мы предполагаем другое, иначе понаполучаем тьму противоречий. Поэтому математики, делая предположения, не вытекающие из принятых аксиом, всегда явно указывают эти предположения.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение20.03.2017, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1407
Someone в сообщении #1202052 писал(а):
Когда-то давным давно я тоже думал, что математика изучает нечто такое, что "существует" само по себе, и поэтому объективно.

Я не утверждаю, что математические объекты и теории объективны.
Тем не менее, они строятся - первоначально - на основе каких-то интуитивных представлений.
Где-то в соседней теме обсуждается аксиоматика Пеано и её нестандартные модели.
Я бы здесь подчеркнул, что нестандартные модели - это хорошо, но мы всегда знаем, какая модель стандартная.
Мы понимаем, какие числа "настоящие натуральные", а какие "ненастоящие натуральные".
Так же и с множествами. Можно обсуждать ZF без аксиомы выбора, но если декартово произведение бесконечного количества "множеств" может быть пусто, то это просто не множества, а что-то другое.
Безусловно, развитие теории влияет на наши интуитивные представления и иногда меняет их до неузнаваемости. Когда-то было немыслимо, что на отрезке и квадрате одинаково много точек, сейчас это даже как-то уже и не очень странно.
Но интуитивные представления всегда остаются.

Модели, хоть Коэна, хоть Гёделя - описывают "ненастоящие множества".
Как дело обстоит с "настоящими множествами", соответствующими нашему интуитивному представлению о множестве - непонятно.
Может быть, непонятно пока.
Этот вопрос может быть решён, если в число аксиом ZFC будут добавлены новые - но не такие, как гипотеза континуума или её отрицание - а естественные с точки зрения интуиции (хотя бы даже и не нашей, а интуиции математиков будущего) и реально полезные в разделах математики, более близких к реальности чем теория множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 06:44 


30/08/13
313
Понятно , но больше сказать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4209
В теории множеств $\operatorname{ZF}+\operatorname{AD}(+\operatorname{DC}+\operatorname{AC}_{\omega})$ цепочка $\aleph_0,2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}},\ldots$ вообще не имеет с цепочкой $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ ни одного общего элемента, кроме первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
1407
warlock66613 в сообщении #1202345 писал(а):
В теории множеств $ZF+AD(+DC+AC_{\omega})$ цепочка $\aleph_0,2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}},\ldots$ вообще не имеет с цепочкой $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ ни одного общего элемента, кроме первого.

Признаюсь, что с этими аббревиатурами я не то что бы не знаком, но знаком плохо.
Но, конечно, здесь нет аксиомы выбора.
Иначе бы первая цепочка была частью второй обязательно.
Но, кажется, если нет аксиомы выбора, то не все мощности сравнимы? (Или AD всё же позволяет их сравнивать?)
И что тогда означает цепочка алефов (вторая)?

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4209
Mikhail_K в сообщении #1202369 писал(а):
Или AD всё же позволяет их сравнивать?
AD, наоборот, позволяет доказать, что существуют несравнимые мощности, и эти цепочки — конкретный пример такой ситуации.
Mikhail_K в сообщении #1202369 писал(а):
И что тогда означает цепочка алефов (вторая)
То же, что и в канторовской теории множеств: мощности ординалов (вполне упорядоченных множеств).

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1202369 писал(а):
что с этими аббревиатурами я не то что бы не знаком, но знаком плохо
На всякий случай названия: аксиома детерминированности, аксиома зависимого выбора, аксиома счётного выбора.

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
Ну а как вы класс вполне упорядоченных множеств вполне упорядочите без аксиомы выбора?

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19792
Уфа

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1202375 писал(а):
На всякий случай названия: аксиома детерминированности, аксиома зависимого выбора, аксиома счётного выбора.
Так у вас в формуле вместо плюсов в скобках должны быть знаки равенства, получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: лестница Кантора
Сообщение21.03.2017, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4209

(Оффтоп)

arseniiv, какое же там равенство? Аксиома зависимого выбора независима от остального, аксиома детерминированности тоже.


-- 21.03.2017, 18:01 --

kp9r4d в сообщении #1202403 писал(а):
Ну а как вы класс вполне упорядоченных множеств вполне упорядочите без аксиомы выбора?
А зачем? Собственно, в аксиоматике Цермелло — Френкеля классов же вообще нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: xjar1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group