2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение13.09.2006, 22:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
Этот пример легко обобщается. Рассмотрим группу $SO(n)$ и некоторую подгруппу перестановок симметричной подгруппы, переставляющей базисные элементы, являющиеся ортогональными преобразованиями. Соответственно получится, что любая конечная группа может реализоваться как фундаментальная группа некоторого многообразия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.09.2006, 17:52 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Интересное обобщение, наверное в алгебраической топологии это известный факт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 13:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
Возможно известно.
Некоторое уточнение: для нахождения многообразия с заданной фундаментальной группой G из n элементов, может потребоваться вложение в $SO(n+k)$ (k=0 или 1 или 2), так как нечётные перестановки при k=0 при таком вложении имеют определитель (-1). Но это уже детали.

 Профиль  
                  
 
 Re: топологический вопрос
Сообщение22.01.2015, 22:37 
Аватара пользователя


22/10/08
1285
Я тут недавно вляпался в фундаментальную группу и таки знаю простейший пример с некоммутативным случаем, это - плоскость с двумя дырками. Свободная группа с двумя образующими. А вот почему она некоммутативна я не могу объяснить, может кто нарисует почему негомотопны петли АВ и ВА? Кстати, еще там была вроде теорема, что любая(свободная?) дискретная группа есть фундаментальная группа некоторого многообразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: топологический вопрос
Сообщение04.02.2015, 01:55 


04/02/15
5
Есть известный факт: всякая группа, задаваемая конечным набором образующих и соотношений, является фундаментальной группой некоторого 4-мерного замкнутого (компактного и без края) многообразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: топологический вопрос
Сообщение05.02.2015, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
ИгорЪ в сообщении #966980 писал(а):
Я тут недавно вляпался в фундаментальную группу и таки знаю простейший пример с некоммутативным случаем, это - плоскость с двумя дырками. Свободная группа с двумя образующими. А вот почему она некоммутативна я не могу объяснить, может кто нарисует почему негомотопны петли АВ и ВА?

Возьмите плоскость с тремя дырками.

 Профиль  
                  
 
 Re: топологический вопрос
Сообщение05.02.2015, 17:23 


11/07/14
130
Рассмотрим топологическое пространство $X.$ Возьмём абеленизацию $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}$ его фундаментальной группы. Можно доказать, что одномерная группа гомологий $H_1(X)$ изоморфна $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}.$

Предлагаю попробовать найти $X$ с конечной одномерной группой гомологий, чтобы $H_1(X) \cong \pi(X,x_0).$

Наверное, $\mathbb{R}P^2$ подходит. Интересно, таких $X$ много?

 Профиль  
                  
 
 Re: топологический вопрос
Сообщение19.03.2017, 17:16 


29/01/17

12
Dmitry Tkachenko в сообщении #974146 писал(а):
Рассмотрим топологическое пространство $X.$ Возьмём абеленизацию $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}$ его фундаментальной группы. Можно доказать, что одномерная группа гомологий $H_1(X)$ изоморфна $\left(\pi(X,x_0)\right)_{ab}.$

Предлагаю попробовать найти $X$ с конечной одномерной группой гомологий, чтобы $H_1(X) \cong \pi(X,x_0).$

Наверное, $\mathbb{R}P^2$ подходит. Интересно, таких $X$ много?

Да, любое пространство с конечной коммутативной фундаментальной группой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group