2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 01:54 


18/03/17
6
Определение.
Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$.

Если множество $A$ не является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "существует элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$, и высказанное только что утверждение ложно.

По моему это совсем не доказательство. Ведь похожие суждения можно проделать и с тем условием, что $A$ является подмножеством множества $B$.

Например. Если множество $A$ является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "каждый элемент $x$, являющийся элементом множества $A$, является элементом множества $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$, и высказанное только что утверждение ложно.

Это Рудин ошибается, или все же ошибаюсь я? По-моему мои суждения не содержат в себе ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Riurik в сообщении #1201373 писал(а):
Если множество $A$ является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "каждый элемент $x$, являющийся элементом множества $A$, является элементом множества $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$, и высказанное только что утверждение ложно.

И? Дальше-то, дальше что? Ну не существует. А рассуждение касается только элементов множества $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:16 


18/03/17
6
Otta в сообщении #1201377 писал(а):
Дальше-то, дальше что?


Противоречие в этих двух суждениях, вот что. Обычно в таких случаях (например, как в случае, когда множество является элементом самого себя) пытаются избавиться от понятий, которые приводят к таким противоречиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
И где противоречие?
Сравните: "каждый $x$, являющийся элементом $A$, такой, что ..." и "существует $x$, являющийся элементом $A$, такой, что ...".
То, что не существует элементов, принадлежащих $A$, никак не отменяет того, что всё, что каким-то образом оказалось принадлежащим $A$, принадлежит и $B$ (а еще является четным числом, нечетным числом и невидимым розовым единорогом, причем всё сразу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:39 


18/03/17
6
mihaild в сообщении #1201379 писал(а):
То, что не существует элементов, принадлежащих $A$, никак не отменяет того, что всё, что каким-то образом оказалось принадлежащим $A$, принадлежит и $B$


Просто это все определение $A\subset B$. Если элементы $A$ не принадлежат множеству $B$, то $A\nsubseteq B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:42 


13/02/17

317
Varanasi
Riurik в сообщении #1201373 писал(а):
Если множество $A$ не является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "существует элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$.


Мне кажется формулировку действительно следует изменить: Для того, чтобы множество $A$ не являлось подмножеством множества $B$, достаточно чтобы: "существовал элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$".
Такая формулировка не исключает непринадлежности $A$ к $B$ и без достаточных условий, как в случае с пустым множеством. В этом случае мы говорим не об определении непринадлежности, а о достаточных, но не необходимых условиях. Можно дать и определение, явно включив в него случай с пустым множеством: Непустое множество $A$ не является подмножеством множества $B$, если: "существует элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$".

Но как по мне - я бы признал справедливым заглавие темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:56 


18/03/17
6
Aether в сообщении #1201383 писал(а):
Но как по мне - я бы признал справедливым заглавие темы.


А вот как по мне, так кажется, что доказывать, что пустое множество является подмножеством всех множеств не имеет смысла. Это аксиома и все. Из определения не выводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Riurik в сообщении #1201382 писал(а):
Если элементы $A$ не принадлежат множеству $B$, то $A\nsubseteq B$.
Если хотя бы один элемент $A$ не принадлежит $B$. Но если $A$ пусто, то нет ни одного элемента $A$, не принадлежащего $B$.

"каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$" - это просто сокращение для "для любого $x$, если $x$ принадлежит $A$, то $x$ принадлежит $B$". Формулой: $\forall x: x \in A \rightarrow x \in B$.
Отрицанием этого будет "какой-то элемент $A$ не является элементом множества $B$", что полностью записывается как "существует такой $x$, что $x$ принадлежит $A$ и $x$ не принадлежит $B$. Формулой: $\exists x: x \in A \wedge x \notin B$.

Тут может быть некоторая проблема с конвертацией связок русского языка в формальные. "для каждого элемент $A$ выполнено $P$" превращается в импликацию: "для любого $x$: если $x$ принадлежит $A$, то $P$".
А "существует $X$ принадлежащий $A$, для которого выполнена $P$" превращается в конъюнкцию: "существует $x$: ($x$ принадлежит $A$) и $P$"

Aether в сообщении #1201383 писал(а):
Для того, чтобы множество $A$ не являлось подмножеством множества $B$, достаточно
Не получится: мы же доказываем, что является подмножеством, поэтому достаточные условия на то, чтобы не являться подмножеством, нам не нужны (они всё равно окажутся не выполнены).

-- 18.03.2017, 02:58 --

Riurik в сообщении #1201384 писал(а):
доказывать, что пустое множество является подмножеством всех множеств не имеет смысла
Выводится. Аксиомы теории множеств обычно формулируют вообще без значка $\subset$, который потом определяют через $\in$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 03:14 


18/03/17
6
mihaild в сообщении #1201385 писал(а):
Если хотя бы один элемент $A$ не принадлежит $B$.


Да, а тут ни один элемент $A$ не принадлежит $B$. А значит рассуждения о том, что что-то из пустого множества принадлежит какому-то множеству, не имеют смысла. Они просто не вписываются в определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 03:15 


13/02/17

317
Varanasi
Riurik в сообщении #1201384 писал(а):
Это аксиома и все. Из определения не выводится.


На практике не всегда удобно:
У нас есть множество кур и множество уток, ни одно из них не является подмножеством другого. Кур мы распродали всех, а уток немного осталось. Теперь в бухгалтерской отчетности мы должны записать, что в множестве уток у нас осталось 0 кур, хотя до продажи последней курицы мы писали, что утки и куры- это отдельные множества и при этом также среди уток у нас было 0 кур. Т.е. лишний головняк людям.

К тому же эта аксиома противоречит аксиоме регулярности, согласно которой множество не может включать себя в качестве элемента.

Аксиома регулярности введена из практических соображений, но возможно существуют какие-то аксиоматизации и без неё, относительно которых Ваша точка зрения может оказаться справедливой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 03:25 


18/03/17
6
Aether в сообщении #1201391 писал(а):
Теперь в бухгалтерской отчетности мы должны записать


Хотите – не пишите. В чем проблема то? :lol:

-- 18.03.2017, 04:26 --

Aether в сообщении #1201391 писал(а):
К тому же эта аксиома противоречит аксиоме регулярности, согласно которой множество не может включать себя в качестве элемента.


Т.е. вы не согласны с тем, что пустое множество является подмножеством любого множества?

-- 18.03.2017, 04:30 --

И тут не про пустое множество кур, а про пустое множество вообще. Пустое множество есть пустое множество. Это не множество ни кур, ни уток.

-- 18.03.2017, 04:32 --

Aether в сообщении #1201391 писал(а):
в качестве элемента


А кто сказал "в качестве элемента"? В качестве подмножества, вообще-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 03:36 


13/02/17

317
Varanasi
Riurik в сообщении #1201392 писал(а):
Т.е. вы не согласны с тем, что пустое множество является подмножеством любого множества?


А Вы согласны с тем, что Вы и некогда умерший осел - одно лицо, ну, или что он хотябы находится внутри Вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество является подмножеством любого множества.
Сообщение18.03.2017, 03:42 


20/03/14
12041
Тема закрыта в связи с неготовностью топикстартера выслушивать ответы и переходом во флуд.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group