2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 коэффициенты разложения произведения 1/(1 - 2^i x)
Сообщение17.03.2017, 03:12 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
Для всякого целого положительного $n$ докажите:
$$\prod_{i=0}^n \frac{1}{1-2^ix} = \sum_{k=0}^{\infty} c_k\cdot x^k,$$
где
$$c_k = \prod_{i=1}^{n} \frac{2^{k+i} - 1}{2^i - 1}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: коэффициенты разложения произведения 1/(1 - 2^i x)
Сообщение17.03.2017, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Доказательство индукцией по $n$ и по $k$ сразу сводится к доказательству равенства

$$\prod_{i=1}^{n} \frac{2^{k+i} - 1}{2^i - 1} + 2^{n+1}\prod_{i=1}^{n+1} \frac{2^{k-1+i} - 1}{2^i - 1}= \prod_{i=1}^{n+1} \frac{2^{k+i} - 1}{2^i - 1}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: коэффициенты разложения произведения 1/(1 - 2^i x)
Сообщение17.03.2017, 16:49 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5217
Есть ещё как минимум два способа: через символ q-Почхаммера и вычислением количества $m\times n$ матриц полного ранга над $\mathrm{GF}(2)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group