2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три заряда на нити
Сообщение14.03.2017, 19:20 


09/10/15
1053
San Jose, USA
Даны три положительных заряда: $q_1, q_2, q_3$
Есть кольцевая веревка длины $l$, на которую и нанизаны все три заряда.
Трения нет. Определить конфигурацию установившегося равновесия.
Задачка достаточно простая, но с одной тонкостью.

К сожалению тривиального решения для 4 х зарядов на сфере нет, ну или я пока не нашел.
Так что если у кого есть идеи как сделать из сферы с 4-я зарядами конфетку, милости просим. У меня пока в голове крутится что-то типа 4 положительных заряда на сфере попарно связаны стержнями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение14.03.2017, 20:10 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
$l_{12}=l\dfrac {\sqrt {q_1q_2}}{\sqrt {q_1q_2}+\sqrt {q_1q_3}+\sqrt {q_2q_3}}$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение14.03.2017, 20:36 


09/10/15
1053
San Jose, USA
Быстро, но не до конца
Так что балл снижается за неполное решение :D
И еще. Обычно я прошу школьников решить эту задачу двумя способами.
Каким способом вы решали?
Можно без подробностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 08:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1134
москва
Пусть $q_1\geq q_2\geq q_3$. Кроме решения, приведенного ранее, есть еще одно: $l_{12}=\frac l2, l_{13}=l\dfrac {\sqrt {q_1}}{2(\sqrt {q_1}+\sqrt {q_2})}, l_{23}=l\dfrac {\sqrt {q_2}}{2(\sqrt {q_1}+\sqrt {q_2})}.$ Если выполнено неравенство $\sqrt {q_1q_2}\geq \sqrt {q_1}{q_3}+\sqrt {q_2q_3}$, то остается только это последнее решение.

fred1996 в сообщении #1200386 писал(а):
Каким способом вы решали?

Находил минимум потенциальной энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 08:43 


09/10/15
1053
San Jose, USA
Это один.
А есть еще "школьный" вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 17:16 


05/02/11
971
Москва
Можно заметить, что отношение сторон угла с зарядом $q_1$ в вершине равно $\sqrt{q_2/q_3}.$
Ну и аналогичные отношения для остальных пар сторон. Вроде и всё. Задача красивая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 18:06 
Заслуженный участник


25/02/11
1467
Обратная задача: пусть даны три точки на окружности. Можно ли им приписать ненулевые заряды, чтобы у системы получилось положение равновесия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 18:34 


09/10/15
1053
San Jose, USA
dovlato в сообщении #1200645 писал(а):
Можно заметить, что отношение сторон угла с зарядом $q_1$ в вершине равно $\sqrt{q_2/q_3}.$
Ну и аналогичные отношения для остальных пар сторон. Вроде и всё. Задача красивая.


Ну а если вспомнить механику?

-- 15.03.2017, 08:02 --

Vince Diesel в сообщении #1200658 писал(а):
Обратная задача: пусть даны три точки на окружности. Можно ли им приписать ненулевые заряды, чтобы у системы получилось положение равновесия?


Проведем от всех трех точек на окружности радиусы и обозначим образовавшиеся углы:
$\alpha,\beta,\gamma$.
Теперь можно чисто геометрически сосчитать силы на заряды и применить условие связи: все элетростатические силы перпендикулярны окружности.
Откуда моментально следуют попарные соотношения между зарядами через эти углы:
$\frac{q_1}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{q_2}{\sin\frac{\beta}{2}}$
И два таких-же.
Есть естественное ограничение:
Эти углы должны быть меньше $\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 20:27 


05/02/11
971
Москва
Не знаю, о какой механике было сказано.
Соображения такие:
1. Натяжение нити везде одинаково. Как следствие - для каждого заряда результирующая сил натяжения - по биссектрисе своего угла.
2. Поэтому силы электростатич. отталкивания от двух других зарядов должны быть равны друг другу.
Далее, учитывая закон $\sim q/r^2$, понятно, что отношение сторон равно $\sqrt{q_2/q_3}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение15.03.2017, 22:06 


09/10/15
1053
San Jose, USA
dovlato в сообщении #1200711 писал(а):
Не знаю, о какой механике было сказано.
Соображения такие:
1. Натяжение нити везде одинаково. Как следствие - для каждого заряда результирующая сил натяжения - по биссектрисе своего угла.
2. Поэтому силы электростатич. отталкивания от двух других зарядов должны быть равны друг другу.
Далее, учитывая закон $\sim q/r^2$, понятно, что отношение сторон равно $\sqrt{q_2/q_3}.$


Собственно я это и имел ввиду.
Силы натяжения нити между жвумя зарядами в точности компенсируют силы электростатического отталкивания между ними.
Ну а сила нятяжения нити везде одна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три заряда на нити
Сообщение16.03.2017, 19:46 
Заслуженный участник


25/02/11
1467
fred1996 в сообщении #1200669 писал(а):
Есть естественное ограничение:
Эти углы должны быть меньше $\pi$

Если один из углов больше $\pi$, то у меня (прикидывая мысленно, без подсчетов), вроде как выходит, что один отрицательный заряд в центре и два положительных по бокам подойдут. Вот когда угол равен $\pi$, похоже, не выйдет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group