Производная от определенного интеграла

[lantza]

Понятно, что при нужных условиях на интегрируемость и дифференцируемость верно, что
$\frac{\partial}{\partial x} \int\limits_{x_0}^{x}f(y)dy = f(x)$

В учебнике по дифференциальным уравнениям, когда выводят формулу Коши частного решения линейного диф. уравнения, используется следующее тождество (wolfram alpha так же подтверждает это):
$\frac{\partial}{\partial x} \int\limits_{x_0}^{x}K(x+x_0-y)f(y)dy = \int\limits_{x_0}^{x}\frac{\partial K(x+x_0-y)}{\partial x}f(y)dy + K(x_0)f(x)$

Как это можно вывести или получить? Совершенно ума не приложу, никогда с таким дифференцированием не встречался.

[Ms-dos4]

lantza
Формула дифференцирования под знаком интеграла

$$\[\frac{\partial }{{\partial \alpha }}\int\limits_{a(\alpha )}^{b(\alpha )} {f(x,\alpha )dx} = \int\limits_{a(\alpha )}^{b(\alpha )} {\frac{{\partial f}}{{\partial \alpha }}dx} + \frac{{db}}{{d\alpha }}f(b,\alpha ) - \frac{{da}}{{d\alpha }}f(a,\alpha )\]$$

На первом курсе проходят же

[Someone]

lantza в сообщении #1200737 писал(а):

Понятно, что при нужных условиях на интегрируемость и дифференцируемость верно, что
$\frac{\partial}{\partial x} \int\limits_{x_0}^{x}f(y)dy = f(x)$

"Нужные условия" состоят в том, что подынтегральная функция интегрируема на нужном промежутке и непрерывна в той точке, в которой Вы хотите вычислить производную.

И, кстати, откуда тут частная производная, если у нас функция одной переменной?

lantza в сообщении #1200737 писал(а):

Как это можно вывести или получить? Совершенно ума не приложу, никогда с таким дифференцированием не встречался.

Это обычно рассматривается в учебниках по математическому анализу.

Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. "Наука", Москва, 1969.

Пункт 509.

[lantza]

Ms-dos4, Someone, благодарю, сейчас почитаю про это.

Someone в сообщении #1200745 писал(а):

"Нужные условия" состоят в том, что подынтегральная функция интегрируема на нужном промежутке и непрерывна в той точке, в которой Вы хотите вычислить производную.

Да, я неявно это и имел в виду.

Someone в сообщении #1200745 писал(а):

И, кстати, откуда тут частная производная, если у нас функция одной переменной?

А что, не стоит писать производную $\frac{df}{dx}$ в виде частного производного $\frac{\partial f}{\partial x}$? Я не думал, что надо проявлять такую серьезность запись этих формул.