2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 18:49 


25/02/16
56
Здравствуйте.
Всё-таки для общего развития попробую исследовать явную схему на устойчивость\неустойчивость.
Я знаю что эта схема неустойчива.
Но хочу это решить аналитически

Вот эта формула явной разностной схемы(которая уже мелькала во многих темах)
$\frac{{y}^{j+1}_{i} - {y}^{j}_{i}}{\tau }+ a \frac{{y}^{j}_{i+1} - {y}^{j}_{i}}{h }=0$

Взято из Самарского(с)
Подставляем частное решение гармонику $y^{j}_{i}=q ^{j}{\xi }^{i}$

И в итоге получается такой результат как я понял(Это судя по отрывку из книги)
$q = 1 + \gamma (1 - \xi ) = (1 + \gamma - \gamma \cos \varphi ) - i\gamma \sin \varphi$


А теперь вопросы:
1)Что нужно выражать чтобы прийти к этому результату,это же тоже уравнение и что-то нужно выразить.
2)Какие разделы математики я должен повторить\вспомнить чтобы начать решать такое уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 18:54 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
beginer в сообщении #1191783 писал(а):
Подставляем частное решение гармонику $y^{j}_{i}=q ^{j}{\xi }^{i}$
Самый первый общий вопрос - в каком смысле это гармоника?
beginer в сообщении #1191783 писал(а):
Какие разделы математики я должен повторить\вспомнить чтобы начать решать такое уравнение?
Хорошо бы еще знать, что Вы, как предполагается, знаете...

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 19:17 


25/02/16
56
1)Как я понял из учебника метод гармоник позволяет узнать устойчива схема или неустойчива.
А сама гармоника это частное решение,которое нужно подставить для дальнейшего решения.
Подставляя это значение в уравнение я смогу начать решать(исследовать его на устойчивость\неустойчивость)

2)По поводу чего знал но местами нужно вспомнить.
Если вспомнить студенческие годы то 1 год математического анализа(пределы,логарифы),Ряд Тейлора,Ряд Фурье был но не в математическом анализе(В Цифровой обработке сигналов),уравнение математической физики(задача Дирихле,Пуассона),методы вычислений(Эйлер,Рунге-Кутт,хорд,секущие,метод трапеций,метод прямоугольников).
В общем изучал много,нужно вспомнить и достать старые тетради.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 20:23 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
beginer в сообщении #1191789 писал(а):
1)Как я понял из учебника метод гармоник позволяет узнать устойчива схема или неустойчива.
А сама гармоника это частное решение,которое нужно подставить для дальнейшего решения.
Подставляя это значение в уравнение я смогу начать решать(исследовать его на устойчивость\неустойчивость)
Это все примерно правильно, но ни в коей мере не является ответом на вопрос, почему это - гармоника.
beginer в сообщении #1191789 писал(а):
Если вспомнить студенческие годы то 1 год математического анализа(пределы,логарифы),Ряд Тейлора,Ряд Фурье был но не в математическом анализе(В Цифровой обработке сигналов),уравнение математической физики(задача Дирихле,Пуассона),методы вычислений(Эйлер,Рунге-Кутт,хорд,секущие,метод трапеций,метод прямоугольников).
:shock: По идее, все необходимое Вы должны знать. Стало быть, очень прочно забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 20:34 


25/02/16
56
Я долго не занимался и поэтому всё забыл.
Вот поэтому я и интересуюсь какой раздел математики\какие разделы математики мне нужно вспоминать чтобы решить своё задание..

А что касаемо гармоники
Если вспоминать ЦОС,то гармоника это некоторая точка или координата где возможно какое либо изменение(скачок импульса например или его убывание)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
beginer
С самого начала: а что такое $\gamma$? И почему Вы вдруг решили, что схема неустойчива? Какой критерий использовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 20:39 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
beginer в сообщении #1191823 писал(а):
Вот поэтому я и интересуюсь какой раздел математики\какие разделы математики мне нужно вспоминать чтобы решить своё задание..
Ну что ж... Памятуя предыдущую историю - школьную алгебру и начала матанализа. Потом собственно матанализ, дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных (оно же "уравнения матфизики", оно же просто "матфизика", соответствующие курсы в разных местах именуются по-разному), методы вычислений.
beginer в сообщении #1191823 писал(а):
Если вспоминать ЦОС,то гармоника это некоторая точка или координата где возможно какое либо изменение(скачок импульса например или его убывание)
Не попали. Вот, собственно, и начните копать с выяснения того, почему это так называется и что, собственно, скрывается за этими буковками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 21:15 


25/02/16
56
Red_Herring
Гамма это число Куранта $\gamma=\frac{a \cdot t}{h}$

Ответ будет прост,в книге написано.Но я всё равно буду аналитически решать.

-- 11.02.2017, 22:20 --

Pphantom в сообщении #1191826 писал(а):
beginer в сообщении #1191823 писал(а):
Вот поэтому я и интересуюсь какой раздел математики\какие разделы математики мне нужно вспоминать чтобы решить своё задание..
Ну что ж... Памятуя предыдущую историю - школьную алгебру и начала матанализа. Потом собственно матанализ, дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных (оно же "уравнения матфизики", оно же просто "матфизика", соответствующие курсы в разных местах именуются по-разному), методы вычислений


Понял, я не так задал свой вопрос
Какие разделы дифференциальных уравнений в частных производных мне помогут?1-ого порядка или 2-ого?
И какой раздел вспоминать в математическом анализе?
Так я смогу сориентироваться и прорешать\вспомнить соответствующие разделы и решить свою проблему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 21:47 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
beginer в сообщении #1191836 писал(а):
Какие разделы дифференциальных уравнений в частных производных мне помогут?1-ого порядка или 2-ого?
Пожалуй, тут скорее общая теория. С матанализом аналогично, я не очень представляю, как можно вырезать какой-то определенный кусочек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 21:52 


25/02/16
56
В мат.анализе как и в дифференциальных уравнениях всё связано и поэтому трудно вырезать кусочек.Я вас понимаю.
Так как чтобы решить одно уравнение,нужно помнить другое,которое в свою очередь зависит от чего-то ещё.

Пожалуйста скажите те разделы которые необходимы для решения моей проблемы что в дифференциальных,что в мат.анализе.
А общая теория будет повторена как и те разделы,без которых "определённый кусочек" не может существовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
beginer в сообщении #1191836 писал(а):
Гамма это число Куранта $\gamma=\frac{a \cdot t}{h}$

Ответ будет прост,в книге написано.Но я всё равно буду аналитически решать.

Мне ответ известен и без "книги". Но если вы хотите помощи, ответьте на вопрос о критерии

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 23:21 


25/02/16
56
Red_Herring в сообщении #1191870 писал(а):
beginer в сообщении #1191836 писал(а):
Гамма это число Куранта $\gamma=\frac{a \cdot t}{h}$

Ответ будет прост,в книге написано.Но я всё равно буду аналитически решать.

Мне ответ известен и без "книги". Но если вы хотите помощи, ответьте на вопрос о критерии


Критерий Куранта.
Просто в данный момент я хочу аналитически решить вручную и проанализировать устойчива схема или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.02.2017, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
beginer в сообщении #1191875 писал(а):
Критерий Куранта.

Подробнее, в чём он заключается? Слова-то Вы знаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение14.03.2017, 12:38 


25/02/16
56
Наконец-то нашлось время и я попытался его решить
Итак дано уравнение

$\frac{{{y}_{i}}^{j+1}-{{y}_{i}}^{j}}{\tau }-a\frac{{{y}_{i+1}}^{j}-{{y}_{i}}^{j}}{h}=0$

подставляю
{{y}_{i}}^{j}={{q}^{j}}\xi ^{i}

Получается такое уравнение

$\frac{{{q}^{j+1}}\xi ^{i}-{{q}^{j}}\xi ^{i}}{\tau }-a\frac{{{q}^{j}}\xi ^{i+1}-{{q}^{j}}\xi ^{i}}{h}=0$

Упрощаем данное уравнение с помощью ${{q}^{j}}\xi ^{i}$
Полученное уравнение

$\frac{q-1}{\tau }-a\frac{\xi ^{i}-1}{h}=0$

Преобразуем в тригонометрическую форму с помощью формулы Эйлера

$\frac{q-1}{\tau }-a\frac{\cos x + i \sin x-1}{h}=0$

Далее будет уже работа с тригонометрическими тождествами но в данный момент мне вот что интересно.
Правильно ли я решил эту часть?

Так как лучше сейчас проверить на ошибки чем потом обнаружить их в самом конце.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка на устойчивость разностной схемы
Сообщение11.04.2017, 11:13 


25/02/16
56
Оказалось неправильным и поэтому начинаю сначала
Естественно метод гармоник решён не до конца пока что(так как есть вероятность ошибки)

$\frac{{{y}_{k}}^{j+1}-{{y}_{k}}^{j}}{\tau}-a\frac{{{y}_{k+1}}^{j}-{{y}_{k}}^{j}}{h}=0$

Полученное линейное разностное уравнение

{{y}_{k}}^{j+1}=\frac{ -a \tau {{y}_{k+1}}^{j} + a \tau {{y}_{k}^{j}} }{ h } + {{y}_{k}^{j}}

Учитывая, что $\frac{ a \tau }{ h } =  \gamma$ - Число Куранта то уравнение имеет следующий вид

{{y}_{k}}^{j+1}=-\gamma {{y}_{k+1}}^{j} + \gamma {{y}_{k}^{j}} + {{y}_{k}^{j}}

Применяем метод гармоник где {y}_{k}^{j} =  \lambda ^{j} e^{ik \varphi }

Уравнение имеет следующий вид
\lambda = - \gamma e^{ik \varphi}+ \gamma + 1
Выносим за скобки \gamma , получаем
\lambda = - \gamma (e^{ik \varphi}+ 1) + 1 , где e^{ik \varphi}= \cos{\varphi} + i \sin{\varphi} (Формула Эйлера)
\lambda = - \gamma(\cos{\varphi}+ i \sin{\varphi}+ 1) +1
\lambda = 1+ 1 - \cos{\varphi}\gamma - i \sin{\varphi}\gamma

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group