2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Распределение разности двух случайных величин
Сообщение05.03.2017, 21:32 


05/03/17
18
Всем привет!

Столкнулся с такой задачей. Есть две случайные величины: $\xi\sim \Gamma(\alpha, \gamma)$ и $\eta \sim Exp(\kappa) $. Надо найти распределение разности $\xi - \eta$.

Преобразовал я формулу свертки для суммы в формулу для разности:

$P(\xi - \eta \leq x) = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} f_{\xi}(u+t) f_{\eta} (t) dt du = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{({u+t})^{\alpha-1} \gamma^{\alpha} e^{(-u-t)\gamma}}  { \Gamma(\alpha)} \kappa e^{-t \kappa} dt du$.

Но вот что дальше делать с этим монстром? Как его взять? Он вообще берется? Упростить?
Посоветуйте, пожалуйста.

UPD: величины независимы.

-- 06.03.2017, 05:44 --

Собственно, по самой задаче: этот интеграл можно взять? - как-то упростить? Или в принципе надо действовать по-другому, не в лоб, через свертку?.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение05.03.2017, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anton.V.Bogachev в сообщении #1197486 писал(а):
$\ldots \exp^{-t \kappa} \ldots$.
Скорее всего, Вы разделяете ходячее заблуждение, что число $e$ обозначается $\exp$ и называется экспонентой. В то время как на самом деле "$\exp(x)$" — это альтернативное обозначение показательной функции $e^x$, удобное в тех случаях, когда вместо $x$ нужно подставить громоздкое выражение, а "экспонента" — альтернативное название той же показательной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение05.03.2017, 22:52 


20/03/14
12041
 i  Часть сообщений преимущественно технического характера была удалена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение06.03.2017, 09:12 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Я не проверял правильность выписанного интеграла. По мне или через свертку находить плотность, или вычислять вероятность тупо выписывая двойной интеграл и сводя его к повторному. Второй способ, для меня, проще в данном примере. (Но тут кому как.)

А вообще, в таких случаях очевидно интеграл нужно можно сводить к гамма-функции $\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}v^{\alpha-1}e^{-v}dv$.

-- Пн 06.03.2017 08:31:32 --

В каком-то объёме гамма-функция должна была быть. Если совсем не было, и плотность гамма-распределения была дана без каких-либо обоснований, то можно воспользоваться «нормировкой» плотности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение06.03.2017, 14:26 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Напомню себе выражения для плотностей:
$f_{\xi}(u) = \begin {cases} \frac {\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} u^{\alpha-1}e^{-\gamma u}, & u \ge 0;\\ 0, & u < 0. \end {cases}$ $f_{\eta}(t) = \begin {cases} \kappa e^{-\kappa t}, & t \ge 0; \\ 0, & t < 0. \end {cases}$
Если $x < 0$, то функцию распределения в элементарных функциях найти просто $$F_{\xi-\eta}(x) = \frac {\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} u^{\alpha-1}e^{-\gamma u}du \int_{u-x}^{+\infty} e^{-\kappa t} d \kappa t = \frac {\gamma ^{\alpha}} {(\gamma + \kappa)^{\alpha}} e^{\kappa x}.$$ Если $x \ge 0$, то легко получается свести к сумме выражений, содержащих неполную гамма-функцию.
(Это я быстро набрал. Мог и опечатки или ошибки допустить. Проверьте, если интересно.)

Upd $du$ пропустил. Добавил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение06.03.2017, 17:42 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Anton.V.Bogachev в сообщении #1197486 писал(а):
$P(\xi - \eta \leq x) = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} f_{\xi}(u+t) f_{\eta} (t) dt du = \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{({u+t})^{\alpha-1} \gamma^{\alpha} e^{(-u-t)\gamma}}  { \Gamma(\alpha)} \kappa e^{-t \kappa} dt du$.
Так записанный внутренний интеграл (по $t$) будет верен для положительных $u$. (Т.е. так мы найдем плотность разности, когда она будет положительной). Для вычисления функции распределения (или указанной в сообщении вероятности) нужно знание плотности и для отрицательных $u$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение06.03.2017, 21:54 


05/03/17
18
GAA

Спасибо за помощь, теперь я менее неуверен в своих силах.))
У меня только маленький вопрос: почему в ответе в знаменателе $\frac{...}{(\gamma + k)^{\alpha}}$, а не $\frac{...}{(\gamma + k)^{\alpha - 1}}$? - ведь после замены будет: $\frac{\gamma^{\alpha} e^{kx}}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{z^{\alpha-1}}{(\gamma+k)^{\alpha-1}} e^{-z} dz$.
Или нет?

-- 07.03.2017, 05:09 --

GAA
Хотя нет, еще один, более элементарный, но непонятный мне вопрос.
Значение $x$ используется при задании пределов интегрирования. Я понимаю, как в данном случае получились такие пределы. Я не понимаю, каким образом использовалась отрицательность $x$. В смысле, ведь пределы не поменяются, если станет $x \geq 0$. Все так же будет $u - t \leq x$ и $t \geq u - x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение07.03.2017, 07:38 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Да. Все так же будет $u - t \le x$.
Для случая $x \le 0$ область интегрирования схематически показана на рис. (Жирная линия - это $t = u - x$, случай $x = -1$. Область лежит выше линии $t = u - x$. Upd и правее линии $u=0$, конечно. Дописал на всякий случай.).
Вложение:
D.PNG
D.PNG [ 5.07 Кб | Просмотров: 4527 ]


-- Вт 07.03.2017 07:18:20 --

Anton.V.Bogachev в сообщении #1197738 писал(а):
...после замены будет: $\frac{\gamma^{\alpha} e^{kx}}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_{0}^{\infty} \frac{z^{\alpha-1}}{(\gamma+k)^{\alpha-1}} e^{-z} dz$.
Дифференциал не забыли "пересчитать"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение07.03.2017, 08:59 


05/03/17
18
GAA в сообщении #1197766 писал(а):
Дифференциал не забыли "пересчитать"?


Mea culpa.))) Слона-то я и не приметил.

А, вроде понял.
Правильно ли я разумею, что при $x \geq 0$ область интегрирования разобьется на 2 части и будет примерно так:

$\int\limits_{0}^{x} ... du\int\limits_{0}^{+\infty} ... dt + \int\limits_{x}^{+\infty} ... du\int\limits_{u-x}^{+\infty} ... dt $?

*подынтегральное выражение - то же самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение07.03.2017, 09:06 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Да, это первое, что пришло мне в голову.

-- Вт 07.03.2017 08:07:26 --

И больше я уже не раздумывал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение11.03.2017, 13:47 


05/03/17
18
GAA

При $x \geq 0$ получилось так:

$\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} (\frac{1}{\gamma^{\alpha}} \int\limits_{0}^{\gamma x} z^{\alpha-1} e^{-z} dz + \frac{e^{kx}}{(\gamma + k)^{\alpha}} \int\limits_{x(\gamma+k)}^{\infty} z^{\alpha-1} e^{-z} dz)$.

Второй интеграл, если я правильно понимаю, является неполной гамма-функцией, примерно так:

$\int\limits_{x(\gamma+k)}^{\infty} z^{\alpha-1} e^{-z} dz = \Gamma(\alpha, x(\gamma + k))$

А что с первым? Так и оставить его в виде интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение11.03.2017, 13:55 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Anton.V.Bogachev
Представить как разность полной и неполной гамма-функции разбив на 2 интеграла

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение разности двух случайных величин
Сообщение11.03.2017, 14:02 


05/03/17
18
Ms-dos4

А, не подумал.)

Получается так:
$ \int\limits_{0}^{\gamma x} z^{\alpha-1} e^{-z} dz = ... = \Gamma(\alpha) - \Gamma(\alpha, \gamma x)$
?

Окончательно тогда для $x \geq 0$ выходит такое:

$F_{\xi - \eta} (x) = \frac{\Gamma(\alpha) - \Gamma(\alpha, \gamma x)}{\Gamma(\alpha)} + \frac{\gamma^{\alpha} e^{kx} \Gamma(\alpha, x(\gamma + k))}{\Gamma(\alpha) (\gamma + k)^{\alpha}}$

 Профиль  
                  
 
 Решить уравнение: найти подынтегральную функцию
Сообщение15.04.2017, 18:17 


05/03/17
18
Всем привет!
Подскажите, пожалуйста, как решить такое уравнение:

$$\int\limits_{-\infty}^{0} f_1(x) dx = 1 - C$$, если известно, что
$f_1(x)$ - функция плотности распределения, $C$ - некая константа.

Спасибо.

UPD: найти надо $f_1(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение: найти подынтегральную функцию
Сообщение15.04.2017, 18:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Странная задача. Определенный ответ можно дать только при $C>1$ и $C<0$.

Это все условие? Какова задача была в исходной формулировке?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group