2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение08.03.2017, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Вот такой вот вопрос. Встретил в одном учебнике (Степанов Н.Ф., Пупышев В.И. "Квантовая механика и квантовая химия молекул") утверждение:
$ \langle \Phi , \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle = 0$ для любой переменной $Q$ при условии $\langle \Phi, \Phi \rangle= 1$.
Там было приведено (элементарное) доказательство в случае $\Phi \in \mathbb{R}$.

(сосбстна, оно)

$ \frac{\partial}{\partial Q}  \underbrace{1}_{\langle \Phi, \Phi \rangle} = 0 = \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle + \langle \frac{\partial}{\partial Q}  \Phi, \Phi \rangle = 2 \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle $

При этом:
Степанов Н.Ф., Пупышев В.И. Квантовая механика и квантовая химия молекул, Глава 2, параграф 3 писал(а):
если функция нормирована по переменным $\mathbf{r}$ и действительна (последнее введено для простоты)

Я пытался показать это в случае $\Phi \in \mathbb{C}$. Для этого представлял $\Phi$ в виде $\Phi = \phi \cdot \exp (i \eta)$.
При этом, очевидно:
$ \frac{\partial}{\partial Q}  \underbrace{1}_{\langle \Phi, \Phi \rangle = \langle \phi, \phi \rangle} = 0 = 2  \langle \phi, \frac{\partial}{\partial Q} \phi \rangle$
(т.е. для амплитуды $\phi$ всё очевидно).
Но при этом, $ \langle \Phi, \frac{\partial}{\partial Q} \Phi \rangle  = i \langle \phi, \phi \frac{\partial}{\partial Q} \eta \rangle $.
Так вот, как надо действовать дальше (ведь в общем случае требование $\frac{\partial}{\partial Q} \eta = 0 $ для $\forall Q$ означает, что $\eta \equiv \operatorname{const} $.
Короче, у меня где-то есть огромный косяк, где я ошибаюсь в пути? :-(
Или это утверждение в общем случае неверно? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик
Сообщение08.03.2017, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
По-моему,
настолько очевидно, что я даже не знаю, что тут ещё доказывать.

Если вам всё-таки хочется поковырять ещё глубже, то попробуйте разложить $\Phi$ не в амплитуду и фазу, а в действительную и мнимую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение08.03.2017, 13:51 


27/08/16
9426
madschumacher в сообщении #1198071 писал(а):
Я пытался показать это в случае $\Phi \in \mathbb{C}$
Рассмотрите $\Phi =\exp \left( i Q \right) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение08.03.2017, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Проблема в том, что как заметил realeugene $\langle \Phi,\frac{\partial\ }{\partial Q}\Phi \rangle$ не обязательно вещественно

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение08.03.2017, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
realeugene, спасибо за контрпример.

А тогда такой вопрос: когда мы заведомо точно можем сделать волновую функцию действительной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение08.03.2017, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
madschumacher в сообщении #1198219 писал(а):
когда мы заведомо точно можем сделать волновую функцию действительной?
Когда потенциал - вещественная функция (нет магнитного поля и спин-орбитального взаимодействия).

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение09.03.2017, 07:43 


27/08/16
9426
madschumacher в сообщении #1198219 писал(а):
вопрос: когда мы заведомо точно можем сделать волновую функцию действительной?
Вообще говоря, практически никогда: собственная функция любого стационарного состояния с ненулевой энергией содержит комплексный вращающийся фазовый множитель. А в суперпозиции этих состояний даже фазовым множителем обойтись не получится. Но это я пишу, не имея понятия, чему учат в упомянутом вами учебнике по квантовой химии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение09.03.2017, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
realeugene в сообщении #1198333 писал(а):
Вообще говоря, практически никогда: собственная функция любого стационарного состояния с ненулевой энергией содержит комплексный вращающийся фазовый множитель.

Как мы видели выше, нас устроит фазовый множитель, который не зависит от выбранной координаты. Ну а сделать действительными плоскую волну или сферическую гармонику -- это задача под силу школьникам, только познакомившимся с комплексными числами.
Конкретный кусок выдран из текста про адиабатический приближение. И этот интеграл подразумевает, что можно его выкинуть из диагонального оператора неадиабатичности (функции -- электронные, производная -- по координатам ядер).
amon в сообщении #1198220 писал(а):
Когда потенциал - вещественная функция (нет магнитного поля и спин-орбитального взаимодействия).

А где можно найти это утверждение? (в смысле книжку какую-нибудь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение09.03.2017, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Ой, я забыл сказать, что $\Phi$ -- стационарная в.ф. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение09.03.2017, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
(Я ляпнул глупость, спасибо realeugene и Red_Herring за комментарии.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение09.03.2017, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
madschumacher в сообщении #1198339 писал(а):
А где можно найти это утверждение? (в смысле книжку какую-нибудь).
Ну, можем и сами сообразить. Решаем, естественно, стационарную задачу c вещественным $\hat{H}$ (вещественным в том смысле, что из вещественной функции всегда делает вещественную, а из мнимной - мнимую). Пусть $\Psi=\operatorname{Re}\Psi+i\operatorname{Im}\Psi$. Подставляя это в Шредингера получим, что $\operatorname{Re}\Psi$ и $\operatorname{Im}\Psi$ удовлетворяют одному и тому же вещественному уравнению. Обозначив решение этого уравнения $\Phi$, получаем $\Psi=(1+i) \Phi$. Выбором постоянной фазы можно убить мнимую единицу в скобках. QED.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение09.03.2017, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ну, если оператор не только самосопряженный, но и вещественный, т.е. переводит вещественные в вещественные, то с.ф. можно выбрать вещественными, а основную для Шредингера--даже неотрицательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один интегральчик, который хотел стать ноликом...
Сообщение10.03.2017, 07:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Да, как-то неожиданно всё просто оказалось. Спасибо Всем большое! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group