2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 01:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На двух карточках записаны четыре различные цифры – по одной с каждой стороны карточки. Может ли оказаться так, что всякое двузначное число, которое можно сложить из этих карточек, будет иметь одно и то же количество делителей?
(Нельзя переворачивать цифры вверх ногами, то есть делать из цифры 6 цифру 9 и наоборот.)
(по мотивам задачи A.Shapovalov)

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 07:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Вот если бы ещё потребовать не менять порядка карточек, то можно было бы предложить простяшки $1/4+3/7 \to 13,17,43,47$. А требовать, чтобы целых восемь чисел входили в один класс по понятному отношению эквивалентности это жесть.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 14:20 
Аватара пользователя


26/09/16
198
Снегири
А делители должны быть взаимно простыми?

Вообще, не так уж много двузначных, которые при перемене цифр оставляют количество делителей.
Не считая простых $(13, 17, 37, 79)$ это всего лишь $(15, 26, 39, 58)$ с четырьмя делителями, включая 1 и себя, а также $(24)$ с восемью.
Просто взглянув на этот набор, можно сказать, что ничего хорошего нам тут не светит.

Можно, впрочем, было бы взять три карточки с цифрами $1, 3, 7$ и играться с ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
SVD-d
В Вашем анализе не рассмотрен 0. С ним тоже вряд ли что-то светит, но он обладает очень полезным свойством для данной задачи.
Это если ещё верна Ваша гипотеза, что в условии задачи зафиксирована десятичная система счисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 17:35 
Аватара пользователя


26/09/16
198
Снегири
Отчего же?
Если у нас в комплекте есть ноль, то среди наших двузначных чисел обязательно будут $x$ и $10x$, у которых количество делителей сразу разное.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 цифры на двух карточках (по мотивам Шаповалова А.В.)
Сообщение10.03.2017, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
SVD-d в сообщении #1198807 писал(а):
Если у нас в комплекте есть ноль, то среди наших двузначных чисел обязательно будут $x$ и $10x$

    Ktina в сообщении #1198652 писал(а):
    всякое двузначное число, которое можно сложить


-- 10.03.2017, 17:39 --

Ну то есть $x$ в Ваших обозначениях -- это не двузначное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group