2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Связь теории моделей и исчисления высказываний.
Сообщение05.03.2017, 18:48 


26/11/13
29
Разбираю доказательство полноты классического исчисления высказываний(ИВ).

Столкнулся с непониманием следующих пунктов:

1) Напрашивается такое утверждение "Для ИВ, в отличие от логики предикатов, Термы(замкнутые), Формулы, Предикаты - коллапсируют в одно понятие."
В чём оно неверно?

2) свойства денотатора.
Среди формул теории $T$ есть формула $\Phi$. В ней всего m переменных.
При подстановке в $\Phi$ формул $A_0$ ... $A_m$ (вместо переменных) - всегда получаем $A_i$. (т.е. Ф - проектор)
Есть $M$ - некоторая модель этой теории.

Денотатор D - функция, сопоставляющая термам валентности $m$ - $m$-арные операции на множестве-носителе M.

Почему $(D\Phi)(x_1, ..., x_m) = x_i$ ? Какие свойства или аксиомы являются причиной такого равенства?

Набросок доказательства:
Докажем индукцией по сложности формулы:
(это одновременно и доказательство и определение денотатора)
a) $\Phi = \varphi$, $\varphi$ - переменная. Валентность $val(\Phi) = 1$. $D\varphi = \mbox{id}$(по определению денотатора?).
б) $\Phi = f^n(t_1,..., t_n)$, где $t_1,..., t_n$ - уже имеют интерпретацию в моделе.
Доказательством из теории множеств определена конкатенация функций. (дизъюнктивное объединение пар доменов и кодоменов )
Композицией полученной функции с интепретацией соответствующей логической связки, получаю операцию - интерпретацию формулы $\Phi$.
Как же теперь доказать, что эта операция - тоже проектор?

Предполагаю, что в данном случае - носитель одной из моделей - это подмножество замыкания Клини над алфавитом из переменных и $m$-местных логических связок (множество корректно сформированных пропозициональных формул).

3) Если я написал слишком много чуши, то что можно почитать на тему теории моделей для исчисления высказываний? ( в просмотренной литературе - обычно сразу для логики предикатов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь теории моделей и исчисления высказываний.
Сообщение05.03.2017, 20:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Yorick в сообщении #1197430 писал(а):
1) Напрашивается такое утверждение "Для ИВ, в отличие от логики предикатов, Термы(замкнутые), Формулы, Предикаты - коллапсируют в одно понятие."
В чём оно неверно?
В том, что в ИВ нет термов. В том, что предикаты — это либо и так формулы, либо и так не формулы в зависимости от того, что вы ими зовёте (в отличие от всегда одинаково значащего термина предикатный символ; если рассматривать ИВ как прикладное исчисление предикатов, будет по нульместному предикатному символу вместо каждой пропозициональной переменной, и больше никаких других символов — ни предикатных (включая $=$), ни функциональных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь теории моделей и исчисления высказываний.
Сообщение06.03.2017, 10:13 


26/11/13
29
arseniiv в сообщении #1197455 писал(а):
(в отличие от всегда одинаково значащего термина предикатный символ; если рассматривать ИВ как прикладное исчисление предикатов, будет по нульместному предикатному символу вместо каждой пропозициональной переменной, и больше никаких других символов — ни предикатных (включая $=$), ни функциональных).

arseniiv,
да, опечатка: имел в виду предикатные символы, вместо "Предикаты".

Насчет имитации ИВ в терминах логики предикатов:
"больше никаких других символов — ни предикатных (включая $=$), ни функциональных"
Ещё, конечно, забыли n-местные логические связки - тоже будут предикатными символами. Благодарю.

Осталось понять почему, если формула - проектор во "внешней логике", то интерпретация(=семантическая функция=денотатор) её - тоже проектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь теории моделей и исчисления высказываний.
Сообщение06.03.2017, 17:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Yorick в сообщении #1197593 писал(а):
Ещё, конечно, забыли n-местные логические связки - тоже будут предикатными символами.
Это что за связки такие? И нет, не будут. Предикатные символы будут только нульместные и только вместо пропозициональных переменных. Просто по той причине, что только у этих интерпретация такая же: можно найти интерпретацию языка, где каждый нульместный предикатный символ имеет нужное логическое значение, и интерпретация такого языка задаётся в точности набором всех их значений.

Вот про проекторы пока не вчитывался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group