2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 01:58 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Известно ли вам, что общего у чисел 1 и 441?

1) Оба они - квадраты натуральных чисел.
2) Их суммы цифр - тоже.
3) А также произведения цифр.
4) Ну и наконец, количество делителей каждого из них - тоже квадрат натурального числа (у числа 1 один делитель, а у 441 ровно 9 делителей).

У меня такое ощущение, что её устроила цена что больше таких натуральных чисел нет.
А может, я ошибаюсь?
А вдруг их вообще бесконечно много?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 03:53 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Во-первых, вы упустили число $100$ ;-)
Ну а далее, пока не пришёл уважаемый gris с изящными теоретическими построениями, попробуем тупо в лоб.
Код:
goodNumberQ[n_] := AllTrue[{n, Total[IntegerDigits[n]], Times @@ IntegerDigits[n], DivisorSigma[0, n]}, IntegerQ[Sqrt[#]] &]
Select[Range[10^6], goodNumberQ]
Среди первого миллиона таких чисел нашлось 55. Начинается последовательность так: $1, 100, 441, 2601, 9025, 10000, 14884, 40401, 40804, 41209...$
И по понятным причинам их бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 04:09 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Ах ты ж. Я забыл мнение уважаемой Ktina на этот счёт.

-- 06.03.2017, 04:47 --

...Я не буду удалять тот ужас, что написал в посте post1197563.html#p1197563, пусть это служит мне напоминанием о безграничности моей глупости (и я сейчас вовсе не о причислении/непричислении нуля к натуральным числам) :facepalm: :facepalm: :facepalm:
Ну а исправленная последовательность, вот она:
$1, 441, 14884, 48841, 288369, 294849, 346921, 1234321, 1336336, 1833316...$. Среди первых десяти миллиардов натуральных чисел нужных нам нашлось сто семьдесят.
Код:
zeroFreeNumberQ[n_] := FreeQ[IntegerDigits[n], 0]
goodNumberQ[n_] :=  AllTrue[{Total[IntegerDigits[n]], Times @@ IntegerDigits[n], DivisorSigma[0, n]}, IntegerQ[Sqrt[#]] &]
Select[#^2 & /@ Range[10^5], goodNumberQ[#] && zeroFreeNumberQ[#] &]

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 05:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11059
Россия, Москва
Да, у меня получилось то же самое: $1, 441, 14884, 48841, 288369, 294849, 346921, 1234321, 1336336, 1833316, 2356225, 3767481, 6325225$ (до десяти миллионов).
До степеней 10: $1, 1, 2, 2, 4, 7, 13, 28, 66, 170, 432, 1116, 2904, 7959$ штук.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 05:41 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Ktina, можете даже добавить в анкету пятый пункт задачу пятое условие: число должно быть палиндромом. Как минимум два таких нашлись, единица и $1234321$ ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Числа 1, 441 и им подобные (если есть)
Сообщение06.03.2017, 10:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Aether в сообщении #1197565 писал(а):
Вероятно подразумевается, что речь идет о N, к которому 0 не относится. 0 является элементом $N_0$.

Да.

-- 06.03.2017, 10:29 --

Aritaborian
Dmitriy40
Большое спасибо!
Вопрос о счётности множества таких чисел, как я понимаю, остаётся открытым...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group