Квадратичный закон взаимности и квадратичные формы

[Nickspa]

Серия задач, которая подводит к доказательству квадратичного закона взаимности.
а) Определить количество решений уравнения $x^2+y^2=1$ в поле $F_p$.
Перенеся один квадрат вправо, получил, что решениями будут корни из таких вычетов $a$, что $1-a$ также являются вычетами. То есть пригодится сумма $\sum\limits_{a}(\frac{a}{p})(\frac{1-a}{p})$. Просмотрев несколько первых p (7, 11, 13, 17) получается ответ p+указанная сумма.
Вообще, проходим сейчас квадратичные формы. Поэтому, скорее всего, надо их применить.
Может кто помочь?

[Sonic86]

См. книжку Айрленд Роузен Классическое введение в современную теорию чисел - там есть эта задача в разобранном виде, глава 8. Вообще, насколько помню, там надо выдумывать разные хитрые манипуляции с такими суммами

Nickspa в сообщении #1197479 писал(а):

То есть пригодится сумма $\sum\limits_{a}(\frac{a}{p})(\frac{1-a}{p})$.

Так и есть. Насколько я помню, основной трюк в ее расчете - замена $\left(\dfrac{a}{p}\right)$ на $\left(\dfrac{a^{-1}}{p}\right)$, когда это возможно.

Nickspa в сообщении #1197479 писал(а):

Просмотрев несколько первых p (7, 11, 13, 17) получается ответ p+указанная сумма.

Это в общем виде выводится из соотношения $N(x^2=a)=1+\left(\dfrac{a}{p}\right)$, где $N(F=0)$ - число решений уравнения $F=0$ в $\mthbb{F}_p$.