Сходящиеся подпоследовательности

[Anton_Peplov]

Какие (по возможности минимальные) условия нужно наложить на пространство, чтобы в нем выполнялось следующее утверждение?

Чтобы последовательность $P$ имела подпоследовательность, сходящуюся к точке $a$, достаточно, чтобы в любой окрестности точки $a$ содержалось бесконечное множество элементов последовательности $P$.

Под "элементом" здесь понимается элемент вместе с номером, т.е. элементы стационарной последовательности тоже считаются образующими бесконечное множество.

Мне удалось показать, что выполнения в точке $a$ первой аксиомы счетности достаточно. Тем не менее, оно не является необходимым. Например, определим на $\mathbb R$ топологию таким образом: нетривиальное подмножество $\mathbb R$ замкнуто, если и только если оно конечно или счетно. Легко видеть, что в таком пространстве первая аксиома счетности не выполняется нигде. Тем не менее, обсуждаемое утверждение справедливо. В самом деле, в этом пространстве, если в любой окрестности точки $a$ содержится бесконечное множество элементов последовательности $P$, то $P$ содержит стационарную подпоследовательность $\{a\}$ (т.к., выкинув из пространства все элементы последовательности, отличные от $a$, мы получим окрестность точки $a$), а стационарная последовательность сходится к своему элементу в любом пространстве.

Может быть, каких-то стандартных необходимых и достаточных условий для этого утверждения и нет, но тогда нужен хоть контрпример, показывающий, что оно выполняется не в любой топологии. Мне построить этот контрпример не удается - видимо, потому, что вообще трудно придумывать пространства без первой аксиомы счетности.

[mihaild]

Если заменить $P$ на произвольное множество (не обязательно счетное), то подходит $\omega_1 + 1$ с топологией, порожденной начальными интервалами, $P = [0; \omega_1)$. Но последовательность из этого изготовить нельзя.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1196557 писал(а):

Если заменить $P$ на произвольное множество (не обязательно счетное)

Если усилить утверждение, заменив "последовательность" на "произвольное множество", то контрпример есть и в уже рассмотренном пространстве.

Anton_Peplov в сообщении #1196549 писал(а):

определим на $\mathbb R$ топологию таким образом: нетривиальное подмножество $\mathbb R$ замкнуто, если и только если оно конечно или счетно.

Точка $a$ является точкой накопления множества $X \setminus \{a\}$, т.е. в каждой ее окрестности лежит бесконечное множество точек из $X \setminus \{a\}$. Однако $X \setminus \{a\}$ не содержит последовательности, сходящейся к $a$. Это пример из Колмогорова-Фомина. Меня, однако, интересует утверждение про последовательность.

[mihaild]

Поиск привел к пространству Аренса. Строится оно из $\{\infty\} \cup \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, открыты в нем все подмножества, не содержащие $\infty$, и все подмножества, содержащие $\infty$, и не содержащие конечное число столбцов из $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ и конечное число элементов из каждого из остальных столбцов (т.е. выкидываем все элементы вида $(x, j): x \in X, j \in \mathbb{N}$, где $X$ конечно, и элементы вида $(x, y_x): x \notin \mathbb{N}, y_x \in Y_x$, каждое $Y_x$ конечно).

Последовательность будет состоять из всех элементов $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. $\infty$ - ее предельная точка, но никакая подпоследовательность не сходится к ней: если подпоследовательность содержит бесконечное число элементов из какого-то столбца, то она содержит сколь угодно далекие элементы, не лежащие в окрестности, получающиеся выкидыванием этого столбца; если же она содержит конечное число элементов из каждого столбца, то дополнение этой последовательности вообще открыто.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1196581 писал(а):

конечное число столбцов из $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$

Столбец с номером $j$ - это множество всех упорядоченных пар вида $(n, j) | n \in \mathbb N$?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1196584 писал(а):

Столбец с номером $j$ - это множество всех упорядоченных пар вида $(n, j) | n \in \mathbb N$?

Да.

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1196581 писал(а):

$\{\infty\} \wedge \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

Это $(\{\infty\} \cup \mathbb{N}) \times \mathbb{N}$?

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1196588 писал(а):

mihaild в сообщении #1196581
писал(а):
$\{\infty\} \wedge \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ Это $(\{\infty\} \cup \mathbb{N}) \times \mathbb{N}$?

Нет, это $\{\infty\} \cup \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ (поправил в исходном сообщении).

[Anton_Peplov]

Я распишу подробнее. Итак, носитель - $\infty \cup \mathbb N \times \mathbb N$. Назовем столбцом с номером $j$ множество всех упорядоченных пар вида $(n, j) | n \in \mathbb N$.
Топологию зададим следующим образом.
0. Пустое множество и все пространство, как водится, открыты.
1. Каждое множество, НЕ содержащее $\infty$, открыто.
2. Пусть множество $A$ получается из $X$ выбрасыванием
1) конечного числа столбцов
2) конечного числа элементов из каждого оставшегося столбца (это число может быть разным для разных столбцов).
Тогда множество $A$ открыто.
3. Других открытых множеств нет.

Легко убедиться, что это топология. Рассмотрим произвольную систему открытых множеств. Если ни одно из них не содержит $\infty$, объединение открыто. Пусть в системе есть множество $O$, содержащее $\infty$. До $X$ ему недостает лишь конечного числа столбцов и элементов. От объединения (с любыми множествами) столбцов и элементов не убавится, поэтому и объединение будет открытым.

Рассмотрим теперь конечную систему открытых множеств. Если хотя бы одно из них не содержит $\infty$, то пересечение тоже не содержит $\infty$ и, следовательно, открыто. Пусть все элементы содержат $\infty$. Тогда каждому из них до $X$ будет недоставать лишь конечного числа столбцов и элементов. Пересечению конечного числа таких множеств тоже до $X$ будет недоставать лишь конечного числа столбцов и элементов, поэтому оно останется открытым. Итак, перед нами топология.

Рассмотрим последовательность $P$, состоящую из всех элементов $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. $\infty$ - ее точка накопления, т.к. в каждой окрестности $\infty$ найдется бесконечное число элементов $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. Рассмотрим произвольную подпоследовательность $P$ и обозначим ее $S$. Есть два варианта:
1) в $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ найдется столбец $C$ такой, что $S$ содержит бесконечное число его элементов. Тогда рассмотрим множество $X \setminus C$. Оно является окрестностью точки $\infty$. В $S$ есть бесконечное множество элементов не лежащих в этой окрестности - это элементы столбца $C$. Следовательно, $S$ не может сходиться к $a$.
2) для каждого столбца $S$ содержит лишь конечное число его элементов. Тогда дополнение носителя $S$ открыто, следовательно, носитель $S$ замкнут и содержит все свои точки прикосновения. Поскольку $\infty$ не является элементом $S$, $S$ не может сходиться к $\infty$.

Уф! Спасибо! Я бы такой контрпример не придумал бы. А Вы как искали, гуглом? По какому запросу?

[mihaild]

Я бы тоже не придумал:)
Сначала наткнулся на википедию по каким-то общим запросам про сходимость и топологию https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_space. Дальше пошел искать non-sequential space, нашел ссылку http://math.stackexchange.com/questions ... ntial-spac, где была ссылка на https://dantopology.wordpress.com/2010/ ... ens-space/