2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 16:32 


29/03/13
25
Вот уравнение в частных производных первого порядка $ \frac{\partial f}{\partial t} -  -\frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $. Оно элементарно и метод разделения переменных дает $ f=f_0 \cdot \exp(\alpha\cdot (R + \int\limits_{}^{} K(t)dt)) $. Однако, если мы ищем решение в автомодельном виде, именно $ f=\frac{1}{R_f} \cdot F(\xi)  $ где $ R_f=\int\limits_{}^{} K(t)dt $, $ \xi=\frac{R}{R_f}$ то подстановка этого решения в уравнение даст $ F=\frac{1}{(1 + \xi)} $ т.е. $  f = \frac{1}{R + R_f}$ (на константы интегрирования я забил). Очевидно, что данное решение нельзя получить с помощью разделения переменных. Т.е. как бы есть два решения - стандартное и автомодельное и как они друг с другом соотносятся я не понимаю.Понятно, что этот парадокс кажущийся и я чего-то не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):
парадокс кажущийся

Так а что кажется-то? У диффура может быть много решений (а если с частными производными, функционально много), почему им как-то надо "соотноситься".

Выкладки не проверял (у Вас какие-то нестандартные обозначения, как надо читать $ \frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $, я не знаю).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 19:08 


29/03/13
25
K(t) - это просто произвольная функция от переменной t

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Nuflyn в сообщении #1196306 писал(а):
K(t) - это просто произвольная функция от переменной t
Пусть так, но всё равно непонятно,
пианист в сообщении #1196289 писал(а):
как надо читать $ \frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $
То ли это $K(t)\cdot\frac{\partial f}{\partial R}$, то ли ещё что…

$\frac{\partial f}{\partial R}$ — это обозначение частной производной функции $f$ по переменной $R$, а вовсе не дробь, и не надо пихать туда посторонние символы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 21:37 


29/08/13
282
Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):
Вот уравнение в частных производных первого порядка $ \frac{\partial f}{\partial t} -  -\frac{\partial f\cdot K(t)}{\partial R} $

что-то у Вас пошло не так, уравнения не видать.
Nuflyn в сообщении #1196267 писал(а):
Однако, если мы ищем решение в автомодельном виде, именно $ f=\frac{1}{R_f} \cdot F(\xi)  $ где $ R_f=\int\limits_{}^{} K(t)dt $, $ \xi=\frac{R}{R_f}$

Это не очень-то автомодельный вид, $\xi$ должна бы иметь вид произведения степеней (для меня автомодельное решение -- это которое инвариантно относительно смены системы единиц измерения в классе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обычное и автомодельное решение УрЧП
Сообщение01.03.2017, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
VanD в сообщении #1196339 писал(а):
Это не очень-то автомодельный вид, $\xi$ должна бы иметь вид произведения степеней

Ну, и перед $F$ обычно степень.


Nuflyn
И разделение переменных, и поиски автомодельного решения (и много ещё чего, например поиск решения-бегущей волны) дают лишь частные решения (из которых, если повезет, можно получить и общее). Просто разные подходы дают (опять таки, если повезет) разные частные решения

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group