Строгое марковское свойство винеровского процесса

[ShMaxG]

Всем добрый день.

Пусть дан винеровский процесс $\{W(t),t \ge 0\}$. По определению это значит, что

1. $W(0) = 0$ п.в.;
2. $W(t)$ -- процесс с независимыми приращениями;
3. $W(t) - W(s)\in\mathrm{N}(0,|t-s|)$.

Теорема (марковское свойство). Для каждого числа $a \ge 0$ процесс

$$X(t)=W(t+a)-W(a), \ t \ge 0$$

является винеровским процессом, не зависящим от $\sigma$-алгебры $\sigma\{W(s):0\le s \le a\}$.

Доказательство можно найти, например, в [1]. Доказательство я понимаю. Вместе с этим, известен следующий результат.

Теорема (строгое марковское свойство). Пусть $\tau$ -- момент остановки относительно естественной фильтрации $(\mathcal{F}_t)_{t \ge 0}$ винеровского процесса $\{W(t),t \ge 0\}$. Тогда процесс

$$X(t)=W(t+\tau)-W(\tau), \ t \ge 0$$

является винеровским, притом не зависящим от $\sigma$-алгебры $\mathcal{F}_{\tau}$.

Меня интересует лишь доказательство того, что $X(t)$ -- винеровский процесс. Также меня интересует лишь случай когда $\mathbb{P}(\tau < \infty)=1$ и у случайной величины $\tau$ есть плотность $f_{\tau}(y)$. Конечно, эту теорему доказывают во многих источниках, в том числе и в [1]. Доказательство очень сложное, но мне кажется, что его можно провести гораздо проще, воспользовавшись техникой обуславливания и "сведя задачу к предыдущей" (просто марковское свойство). Проверьте за мной, пожалуйста.

Опустим доказательство того, что при каждом $t$ функция исходов $X(\omega,t)$ является случайной величиной. Очевидно, что $X(0)=0$ всюду. Возьмем теперь $t>s$ и рассмотрим распределение приращения $X(t)-X(s)=W(t+\tau)-W(s+\tau)$:

$$\mathbb{P}(W(t+\tau)-W(s+\tau)<x)=\int\limits_{0}^{+\infty}\mathbb{P}(W(t+y)-W(s+y)<x|\tau=y)f_{\tau}(y)dy$$

Остается воспользоваться марковским свойством, заметив, что $\{\tau=y\}\in\sigma\{W(s):s \le y\}$ и событие $\{W(t+y)-W(s+y)<x\}$ от этой сигма-алгебры не зависит. Получается

$$\mathbb{P}(W(t+\tau)-W(s+\tau)<x)=\mathbb{P}(W(t)-W(s)<x)$$

т.е. $X(t)-X(s)$ распределено по закону $\mathrm{N}(0,t-s)$, $t>s$. Так же просто доказать и независимость приращений. Возьмем $t_1 < \dots < t_n$. Независимость в совокупности приращений

$$\Delta X_1 = X(t_1), \ \Delta X_2 = X(t_2)-X(t_1), \ \dots, \ \Delta X_n = X(t_{n-1})-X(t_n)$$

равносильно равенству

$$\mathbb{P}(\Delta X_1 \in B_1,\Delta X_2\in B_2,\dots,\Delta X_n\in B_n)= \\ \mathbb{P}(\Delta X_1\in B_1)\mathbb{P}(\Delta X_2\in B_2)\dots\mathbb{P}(\Delta X_n\in B_n)$$

для любых борелевских множеств $B_1,\dots,B_n$. Теперь если для обоих выражений слева и справа выписать интегральную формулу полной вероятности, воспользоваться марковостью винеровского процесса, избавиться от условия, и воспользоваться независимостью приращений винеровского процесса, то получим верное равенство. По определению, процесс $X(t)$ будет винеровским.

Такой подход я нигде не встречал, хотя может плохо искал. Вероятно, в моих рассуждениях есть ошибка, прошу мне на нее указать.


[1] Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 408 с.

[Gorkovchanin]

Например: откуда следует, что Ваш марковский момент есть абсолютно-непрерывная случайная величина? Далее, если это она такая, надо аккуратно определять условную вероятность относительно события $\{\tau=y\}$, имеющего в этом случае нулевую вероятность, проверять, что значение почти всюду не зависит от $y$, и т.д. Мелочи, нюансы...