Промежуточные мощности между алеф-ноль и континуумом

[popolznev]

Вопрос вполне праздный: если взять за аксиому отрицание континуум-гипотезы, то можно ли утверждать, что между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ умещается бесконечно много промежуточных мощностей?

[kp9r4d]

Нет, есть модели $ZFC$ в которых $\mathfrak{c} = \aleph_2$.

[Mikhail_K]

popolznev в сообщении #1195745 писал(а):

то можно ли утверждать, что между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ умещается бесконечно много промежуточных мощностей?

Нельзя. Но нельзя и опровергнуть.

kp9r4d в сообщении #1195746 писал(а):

Нет, есть модели $ZFC$ в которых $\mathfrak{c} = \aleph_2$.

Равно как и такие, где $\mathfrak{c}=\aleph_3$, или $\mathfrak{c}=\aleph_4$, и так далее.

[Xaositect]

Нет. $\mathbf{ZFC}{+}\neg\mathbf{CH}$ совместна с утверждением $\mathfrak{c} = \aleph_2$, то есть, что существует только одна промежуточная мощность. То же для любого конечного числа.

[popolznev]

Ага, замечательно. kp9r4d, Mikhail_K, Xaositect, спасибо!

[Munin]

Насколько я помню из Википедии, между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ можно насовать любое наперёд заданное число мощностей. И между $\mathfrak{c}$ и $2^\mathfrak{c}$ - опять любое. И так далее.

[popolznev]

Munin в сообщении #1195763 писал(а):

Насколько я помню из Википедии, между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ можно насовать любое наперёд заданное число мощностей. И между $\mathfrak{c}$ и $2^\mathfrak{c}$ - опять любое. И так далее.

Получается, что если мы закроем аксиомой первую дыру (то есть положим, что $2^{\aleph_0} = \aleph_1$), то всё равно ещё останется много дыр, и если б мы захотели закрыть их все, то понадобилось бы бесконечно много аксиом. А вот если взять за аксиому обобщенную континуум-гипотезу, то останутся ли ещё дыры?

[Someone]

popolznev в сообщении #1195916 писал(а):

останутся ли ещё дыры?

А что Вы называете "дырой"?

Вообще, в ZFC о функции $\tau\to 2^{\tau}$ на классе бесконечных кардиналов известно, что она неубывающая, и что она не может принимать некоторых значений (например, $2^{\aleph_0}\neq\aleph_{\omega}$; подробнее можно посмотреть, например, в книге К. Куратовского и А. Мостовского "Теория множеств"), а в остальном она, если не ошибаюсь, произвольная.

Добавление. И, конечно, $2^{\tau}>\tau$.

[popolznev]

Someone в сообщении #1196004 писал(а):

А что Вы называете "дырой"?

Ситуации неопределенности, подобные тому, что было с континуум-гипотезой: у нас есть две известные мощности, и мы не можем ни доказать, ни опровергнуть, что между ними есть ещё что-то.

Что-то плохо я формулирую.