2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка с окружностями
Сообщение10.01.2017, 22:20 
Аватара пользователя


15/11/15
771
Москва
Две окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводят произвольную прямую, пересекающую второй раз окружности $S_1$ и $S_2$ в точках $M_1$ и $M_2$. Пусть касательные в точках $M_1$ и $M_2$ пересекаются в точке $N$. Проведем через центры $O_1$ и $O_2$ окружностей $S_1$ и $S_2$ прямые, параллельные $M_1N$ и $M_2N$ соответственно и обозначим их общую точку за $J$. Докажите, что $J,N,B$ коллинеарны и что длина отрезка $JN$ постоянна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка с окружностями
Сообщение11.01.2017, 23:37 


30/03/08
165
St.Peterburg
Rusit8800 в сообщении #1183472 писал(а):
Две окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводят произвольную прямую, пересекающую второй раз окружности $S_1$ и $S_2$ в точках $M_1$ и $M_2$. Пусть касательные в точках $M_1$ и $M_2$ пересекаются в точке $N$. Проведем через центры $O_1$ и $O_2$ окружностей $S_1$ и $S_2$ прямые, параллельные $M_1N$ и $M_2N$ соответственно и обозначим их общую точку за $J$. Докажите, что $J,N,B$ коллинеарны и что длина отрезка $JN$ постоянна.


Изображение

$O_1J \parallel M_1N_1\ ,\ O_2J \parallel M_2N$

$M_1O_1 \perp M_1N_1 \ ,\ M_2O_2 \perp M_2N$

$\ M_1 ,\ N  ,\ M_2 , \ B , \ Z \in \omega_1 \ ;\  \ O_1 ,\ J ,\ O_2 , \ B , \ Z \in \omega_2 $

$\angle NBM_2=\angle NM_1M_2=\beta \ , \ \angle JBM_2 = \angle JBO_2 +\alpha= \beta \Rightarrow B,J,N\ -\  $ коллинеарны.


$\angle ZNB = \alpha\ ,\ \angle ZJB = \angle ZO_2B=2\alpha \Rightarrow ZJ=JN$

$\angle ZO_1J = 90^0 \Rightarrow JN=ZJ \ -\ $ диаметр $\omega 2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка с окружностями
Сообщение28.02.2017, 02:36 
Аватара пользователя


02/03/08
174
Из рая.
Катнём, господа, окружности до точки пересечения их касательных. Может это авторское решение (хотя где-то подобное построение встречалось как и задача ;-)?
Изображение

Сразу видно, что $JN$ - диаметр окружности $\omega (O'_1NO'_2)$ (угол между окружностями остался прежним, см. далее).
Осталось показать, что $B, J, N$ коллинеарны. Равенство красных треугольников видно по 2-ому признаку (единственная сложность - показать равенство углов при вершинах, каждый из них равен сумме отмеченных углов - $\angle NM_1M_2 + \angle NM_2M_1$).
После равенства треугольников видно, что четырёхугольники $O_1BO_2 J$ и $O'_1NO'_2 J$ вписанные. Откуда $\angle O_1JB = \angle O'_1JN$ или $(B, J, N)$ - прямая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group