2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение23.02.2017, 11:32 
Аватара пользователя


01/12/11
5487
Плоскость раскрасили в 5 цветов. Докажите, что существует 2 точки одного цвета, расстояние между которыми отлично от 1 не более чем на 0,001.
Обязательно ли найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 друг от друга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение23.02.2017, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2114
Уфа
2-й пункт — открытая проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение23.02.2017, 14:49 
Аватара пользователя


01/12/11
5487
worm2
Но ведь есть же ещё и первый :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение25.02.2017, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2114
Уфа
Первый пункт, кажется, открытой проблемой не является :-)
Он, например, есть в качестве задачи 9b вот здесь: http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/2/2-1ru.pdf. И решение у него есть: http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/2/2-4.pdf.
Правда, мне это решение не нравится чисто эстетически.

Я пытался идти более абстрактным путём. Но "не шмогла". В процессе решения попалась любопытная лемма, которую я ни доказать, ни опровергнуть, ни даже нагуглить не смог. Я уж здесь её напишу, возможно, кому-то покажется интересной. А может быть, кому-то из специалистов по топологии — тривиальной (или имеющей тривиальный или широко известный контрпример).

Прямоугольник разбит на 2 подмножества (они не пересекаются и в объединении дают весь прямоугольник).
Доказать или опровергнуть: одно из этих подмножеств содержит связное подмножество, имеющее точки на противоположных сторонах прямоугольника. Даже идеологически немножко не так: либо одно такое подмножество соединяет верхнюю и нижнюю стороны, либо второе соединяет левую и правую.

Возможно, в формулировку нужно внести какие-то изменения, чтобы она стала верной. Например, потребовать открытости одного множества (и замкнутости другого).

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение26.02.2017, 00:03 
Аватара пользователя


01/12/11
5487
worm2
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение26.02.2017, 21:16 


01/11/14
95
worm2 в сообщении #1195360 писал(а):
В процессе решения попалась любопытная лемма, которую я ни доказать, ни опровергнуть, ни даже нагуглить не смог. Я уж здесь её напишу, возможно, кому-то покажется интересной. А может быть, кому-то из специалистов по топологии — тривиальной (или имеющей тривиальный или широко известный контрпример).

Прямоугольник разбит на 2 подмножества (они не пересекаются и в объединении дают весь прямоугольник).
Доказать или опровергнуть: одно из этих подмножеств содержит связное подмножество, имеющее точки на противоположных сторонах прямоугольника. Даже идеологически немножко не так: либо одно такое подмножество соединяет верхнюю и нижнюю стороны, либо второе соединяет левую и правую.

Было обсуждение здесь: http://www.mathforum.ru/forum/read/1/39892/39892/#39892. Аналогичные вопросы для гекс-поля обсуждались здесь: http://math.hashcode.ru/questions/47003/%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0-%D0%BE-%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0%D1%85-%D0%B8%D0%B3%D1%80%D1%8B-%D0%B3%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%B8-%D0%B3%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость, раскрашенная в 5 цветов
Сообщение27.02.2017, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2114
Уфа
Iam, спасибо!
brukvalubу тоже спасибо!

Тем не менее, ещё не всё ясно.
Дело в том, что в "моей" лемме всё-таки речь идёт не о непрерывных кривых, а о связных множествах. Это немножко разные вещи. Если рассмотреть контрпример brukvalubа в "связной" формулировке, то он, кажется, не срабатывает. Я его ещё раз здесь опишу:
1) Квадрат $S = [0,\,1] \times [0,\,1]$.
2) Для внутренности $S^0$ множество чисел с обеими иррациональными координатами $A = S \cap \mathbb{I}^2$ красится в белый цвет, его дополнение $B = S^0 \setminus A$ — в чёрный.
3) Для границы $\partial S$, кроме угловых точек (если ровно одна из координат равна 0 или 1) — наоборот, точки красятся в белый цвет, если вторая координата рациональна и в чёрный, если иррациональна.
4) Точки $(0,\,0)$ и $(1,\,1)$ белые, точки $(1,\,0)$ и $(0,\,1)$ — чёрные.
Множество $B$, очевидно, связно, даже линейно связно (сначала перемещаемся в горизонтальном направлении по одной рациональной координате , потом в вертикальном по другой).
В то же время его замыкание — весь квадрат $S$. Значит, множество всех чёрных точек невозможно разбить на два подмножества, в каждом из которых отсутствует предельная точка другого, т.е. по определению оно связно (хотя уже не линейно связно).

Но вот более простой вариант леммы (которого мне было бы достаточно), в котором одно из множеств открыто, а его дополнение замкнуто — справедлив, в чём я уверен на 99%. Ведь если "компоненты связности левой и правой границ" (надеюсь, понятно о чём я?) замкнуты и различны, то между ними будет зазор конечной ширины, и в этот зазор можно будет даже ломаную засунуть, не то что абстрактное связное множество. Но вот как это строго доказать — ума не приложу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group