Фактор-кольцо

[Eiffel]

Найти

1) значение выражения $\frac{x^3}{x^2+x+1}$ в фактор кольце $\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x)$;

2) представление элементов и порядок $\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x)$;

3) делители нуля $\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x)$. Является ли $\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x)$ полем?

Остатки от деления многочленов из $\mathbb {Z}_2[x]$ на $f=x^3+x$ имеют вид $ax^2+bx+c$, где $a,b \in {Z}_2$. Следовательно, $\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x)$ - кольцо из 8 элементов:

$$\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x) = \{0, 1, x, x+1, x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1 \}$$

Полем не является, так как многочлен $x^3+x$ не является неприводимым над ${Z}_2$. Верно ли я рассуждаю?

[Brukvalub]

Верно.

[Eiffel]

Brukvalub, спасибо!
Можете подсказать с оставшимися вопросами?

Получается представление элементов и порядок я нашел. Что делать дальше, чтобы найти значение выражения $\frac{x^3}{x^2+x+1}$?

Правильно ли я понимаю, что могу пользоваться равенством $x^3=x$? Тогда будет $\frac{x^3}{x^2+x+1}=\frac{x}{x^2+x+1}$?

[demolishka]

Надо поделить $x^{3}$ на ${x^2+x+1}$ в $\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x)$. Умеете делить?

[Eiffel]

А можно сделать так:

$\frac{x^2 \cdot x}{x^2+x+1}=\frac{(x^3+x^2+x) \cdot x}{x^2+x+1}=\frac{(x^2+x+1) \cdot x^2}{x^2+x+1}=x^2?$

-- 26.02.2017, 18:18 --

demolishka, умею. Будет:

$$\frac{x^3 \cdot x}{x^2+x+1}=x-1+\frac{1}{x^2+x+1}$$

.

[demolishka]

Поделить $a$ на $b$ в кольце, это значит найти в кольце такое $c$, что $a = b c$. Само собой такое не всегда возможно.
Вот Вы выписали элементы кольца.

Eiffel в сообщении #1195567 писал(а):

$$\mathbb {Z}_2[x]/(x^3+x) = \{0, 1, x, x+1, x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1 \}$$

Вас спрашивают какой $c$ будет при $a=x^3$ и $b=x^2+x+1$.

Вы его конечно уже нашли:

Eiffel в сообщении #1195580 писал(а):

$\frac{x^2 \cdot x}{x^2+x+1}=\frac{(x^3+x^2+x) \cdot x}{x^2+x+1}=\frac{(x^2+x+1) \cdot x^2}{x^2+x+1}=x^2$

Осталось разобраться почему это он самый и есть.

[Eiffel]

demolishka, подскажите еще, пожалуйста, про делители нуля!

[demolishka]

Eiffel, дайте определение делителей нуля.

[Eiffel]

В некоторых кольцах можно указать такие пары отличных от нуля элементов, произведение которых равно нулю, т.е. $a \ne 0$, $b \ne 0$, но $ab=0$; элементы $a$ и $b$ с этим свойством называются делителями нуля.

[demolishka]

Ну вот и ищите такие пары. У вас кольцо из 8 элементов. Какие элементы кольца заведомо не могут быть делителями нуля? Отсейте их и перебирайте остальные.