предел

[sharlotta]

Здравствуйте!
Прошу помочь в решении задачи. Требуется найти предел $\lim _{ x\to 0 }{ \frac { d^n (x/sin(x))}{ (dx)^n } }$ при п>26. Пробовала вычислять в Вольфраме, но находит значение только при n<21. Как можно найти значение предела при больших n?
К сожалению, вообще не представляю, как можно подступиться к задаче.
Буду очень благодарна за помощь!

[Otta]

Интересно, каким было исходное задание? (Просто совершенно непонятно, кому и зачем мог понадобиться этот совершенно неудобоваримый предел.)

[sharlotta]

По практикуму по математическим пакетам было предложено найти предел в разных средах. При задании больших значений n вычислить предел не удается. Поэтому было дано задание найти его "вручную".

[Otta]

sharlotta в сообщении #1194876 писал(а):

Поэтому было дано задание найти его "вручную".

Ну вручную при таких высоких порядках для этой функции - это вряд ли. Это просто воспитательный процесс. Чтобы вы вспомнили, что производная в точке имеет отношение не только к дифференцированию.

Например, типичное задание (совсем простое и действительно "ручное") - найти производную 5-го порядка функции $\dfrac{\sin x}{x}$ в нуле. Ну или 25-го. Умеете?

-- 24.02.2017, 02:03 --

Вот когда сумеете, вернее, вспомните, как это делается, - станет ясно, какой код писать для пакета.

[sharlotta]

Через формулу Лейбница?

[Otta]

Про ряд Тейлора ничего не слышали?

[sharlotta]

Слышала. Спасибо!

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1194880 писал(а):

найти производную 5-го порядка функции $\dfrac{\sin x}{x}$ в нуле.

Коварное задание. Секунда паники "она же там не определена!" и блаженное "она-то как раз определена, в отличие от".

[Otta]

(В таких заданиях имеется в виду обычно не для самой функции, а для доопределенной в нуле по непрерывности. А так - конечно, не определена.)

[Anton_Peplov]

Ага. Это уже третья итерация. Вторая - "не, ну это ж предел, он может и не", а третья - "все-таки не определена, не определено приращение функции". Говорю - коварное задание, моментально вскрывает недостаточную ясность в голове.

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1194893 писал(а):

Otta в сообщении #1194880 писал(а):

найти производную 5-го порядка функции $\dfrac{\sin x}{x}$ в нуле.

Коварное задание. Секунда паники "она же там не определена!" и блаженное "она-то как раз определена, в отличие от".

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она имеет конечную производную в этой точке. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Предположим, что производная 5-го порядка существует, тогда должны быть непрерывны все производные меньших порядков, вплоть до нулевого.

Anton_Peplov в сообщении #1194905 писал(а):

Говорю - коварное задание

Не коварное, а неверное задание. Задание составлено неверно.

[Otta]

knizhnik в сообщении #1194919 писал(а):

Не коварное, а неверное задание. Задание составлено неверно.

Еще раз. Функция непрерывно доопределяется в нуле. Что неверно? Задание как задание.
К сожалению, по формулам искать нереально, а то бы я нашла пару десятков тем, подобных этой: topic91728.html

Upd: и еще одна. topic84090.html Очень нудная, к чему я лично приложила максимум усилий. Предвидя в будущем этот, текущий, разговор.

[knizhnik]

Otta в сообщении #1194949 писал(а):

Функция непрерывно доопределяется в нуле.

Ну, тогда вам стоило доопределить ее в нуле и доказать непрерывность. Но получилось бы совсем другое задание.

Otta в сообщении #1194949 писал(а):

Что неверно?

Все неверно.

Otta в сообщении #1194949 писал(а):

пару десятков тем, подобных этой: topic91728.htm

404 Not found
Извините, но страница, которую вы запросили, не существует.
А зачем эти ваши десятки? Есть конкретное задание, я дал на него конкретный комментарий. Зачем что-то еще?

[Otta]

Хорошо-хорошо, все неверно.
Страница на месте.

knizhnik в сообщении #1194951 писал(а):

Ну, тогда вам стоило доопределить ее в нуле и доказать непрерывность.

Очень странно, доопределив функцию по непрерывности, доказывать после ее непрерывность.

[Anton_Peplov]

Я выражу свою мысль яснее.

Да, в такой буквальной формулировке задача

Otta в сообщении #1194880 писал(а):

найти производную 5-го порядка функции $\dfrac{\sin x}{x}$ в нуле

не имеет решения, потому что производная не существует. Тем не менее, даже в такой формулировке она педагогически полезна, потому что проверяет ученика на знание определений: задастся ли он вообще вопросом, существует ли производная? Если да, то правильно ли на него ответит? Если он бестрепетно начнет считать производную - велик шанс, что он не понимает, что делает, просто выучил синтаксические правила "штришок туда, штришок сюда, константу выносим". Если он все-таки что-то понимает, то спросит себя, как производная может быть определена в точке, где не определена исходная функция, и при наличии некоторой каши в голове может даже придумать (неверное) обоснование того, что это возможно (тут масла в огонь будет подливать существование предела иходной функции в точке $x = 0$). Но если он понимает, что к чему, то ответит, что это невозможно. Сразу или по некотором размышлении. Некорректно поставленные задачи в качестве "проверки на вшивость" вообще применяются довольно широко.

Ну а если знать, что

Otta в сообщении #1194902 писал(а):

В таких заданиях имеется в виду обычно не для самой функции, а для доопределенной в нуле по непрерывности.

, то да, получается совсем другое задание. Конечно, не комильфо писать "Ливерпуль", когда имеешь в виду Манчестер, но если ученику знаком этот код, то он понимает, о чем его спросили, и решает полезную и корректно поставленную учебную задачу. А если не знаком, он начинает решать задание в его буквальной формулировке, некорректно поставленное, но педагогически полезное.

На это сообщение можно не отвечать. Ответ, рекомендуемый "памяткой пуриста", мне известен заранее, поэтому читать его я не буду.