Поясните доказательство теоремы о пределах

[G00gle]

В учебнике Зорича по математическому анализу (2007-го года издания) на странице 98 приведена теорема о предельном переходе и неравенствах.

Теорема 3. а) Пусть $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ - две сходящиеся последовательности, причем $\lim\limits_{x \to \infty} {x_n} = A $, $\lim\limits_{y \to \infty}{y_n} = B $. Если $A < B$, то найдется номер $N \in \mathbb{N} $ такой, что при любом $ n > N$ выполнено неравенство $ x_n < y_n $.

После доказательства теоремы приводится следствие из теоремы.

Следствие.
Пусть $\lim\limits_{x \to \infty}{x_n} = A $ и $\lim\limits_{y \to \infty}{y_n} = B $.
Если существует номер $N$ такой, что при любом $ n > N $
a) $ x_n > y_n $, то $ A \geqslant B $;
б) $ x_n \geqslant y_n $, то $ A \geqslant B $.

Доказательство следствия.
$\triangleleft$ Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно получаем первые два утверждения. $\triangleright$

Мне не совсем понятно, как получить из утверждения теоремы следствие б).
Если переписать утверждение теоремы 3 а), используя кванторы, то получим:
$A < B \Longleftrightarrow \exists N \in \mathbb N \quad \forall n>N \quad x_n < y_n $.
Построим равносильную ей импликацию:
$\forall N \in \mathbb N \quad \exists n>N \quad x_n \geqslant y_n \Longrightarrow A \geqslant B $
А это не совсем та посылка, которая имеет место в утверждении следствия б).
Если переписать утверждение этого следствия, используя кванторы, получим следующую импликацию.
$\exists N \quad \forall n > N \quad x_n \geqslant y_n \Longrightarrow A \geqslant B $.
Получается, что надо доказать, что для некоторого свойства $ P $:
$\forall N \in \mathbb N \quad \exists n>N \quad P \Longrightarrow \exists N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad P $.
Тогда и можно будет получить утверждение следствия. Но я не совсем понимаю, как это сделать.


Заранее спасибо за помощь.

[warlock66613]

G00gle, ваши кванторые записи местами неоднозначны из-за отсутствия необходимых скобок.

[Slav-27]

G00gle в сообщении #1194528 писал(а):

Пусть $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ - две сходящиеся последовательности, причем $\lim\limits_{x \to \infty} {x_n}$

Ой, что это?

G00gle в сообщении #1194528 писал(а):

Построим равносильную ей импликацию:
$\forall N \in \mathbb N \quad \exists n>N \quad x_n \geqslant y_n \Longrightarrow A \geqslant B $

Не равносильно. Тут посылка такая: есть сколь угодно большие $n$, такие что... А там посылка: при всех $n$, больших некоторого, ...

[grizzly]

G00gle
Обратите внимание, что в доказательстве предлагают рассуждать от противного. Вот и предположите в п.б) от противного, что в условиях Следствия выполняется $ A < B $. И посмотрите, что это даёт в теореме.

[G00gle]

Slav-27 в сообщении #1194543 писал(а):

G00gle в сообщении #1194528 писал(а):

Пусть $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ - две сходящиеся последовательности, причем $\lim\limits_{x \to \infty} {x_n}$

Ой, что это?

G00gle в сообщении #1194528 писал(а):

Построим равносильную ей импликацию:
$\forall N \in \mathbb N \quad \exists n>N \quad x_n \geqslant y_n \Longrightarrow A \geqslant B $

Не равносильно. Тут посылка такая: есть сколь угодно большие $n$, такие что... А там посылка: при всех $n$, больших некоторого, ...

По первому замечанию, то это опечатка, сожалею о своей невнимательности.
По второму замечанию не согласен.
Рассмотрим два высказывания $ {A} $ и $ {B} $.
Тогда, если $A \Longrightarrow B$, то это равносильно высказыванию $ \neg B \Longrightarrow \neg A $.
И еще пару замечаний о правилах вывода. Если $x$ - элемент некоторого множества, а $P(x)$ - некоторое свойство, которым обладает этот элемент, то:
$\neg \exists x \; P(x) \Leftrightarrow \forall x \; \neg P(x)$;
$\neg \forall x \; P(x) \Leftrightarrow \exists x \; \neg P(x)$;
$\neg((\forall x > a) \; P) \Leftrightarrow (\exists x > a) \; \neg P $;
$\neg ((\exists x > a) \; P) \Leftrightarrow \forall x \; (x \notin \mathbb N \vee (x \leqslant a) \vee \neg P) $. Но если по контексту $ \forall x \; (x \in \mathbb N \wedge (x > a)) $, то $\neg ((\exists x > a)\; P) \Leftrightarrow \forall (x >a) \; \neg P $
Применительно к нашему утверждению:
$ \forall N \in \mathbb N \; (\exists n>N \; (x_n \geqslant y_n)) \Longrightarrow A \geqslant B \Longleftrightarrow $ $ \neg (A \geqslant B) \Longrightarrow \neg (\forall N \in \mathbb N \; (\exists n>N \; (x_n \geqslant y_n))) \Longleftrightarrow $ $ A < B \Longrightarrow \exists N \in \mathbb N \; \neg (\exists n>N \; (x_n \geqslant y_n)) \Longleftrightarrow $ $ A < B \Longrightarrow \exists N \in \mathbb N \; (\forall n>N \; (x_n < y_n)) $.
Таким образом, мы получили исходную теорему. Следовательно, цитируемое Вами высказывание равносильно исходному.

[G00gle]

grizzly в сообщении #1194546 писал(а):

G00gle
Обратите внимание, что в доказательстве предлагают рассуждать от противного. Вот и предположите в п.б) от противного, что в условиях Следствия выполняется $ A < B $. И посмотрите, что это даёт в теореме.

Спасибо! Кажется, я разобрался. Для того, чтобы лучше закрепить рассуждение и потренироваться в использовании тега $\verb напишу полное рассуждение.
Пусть $A, B, C$ некоторые высказывания и $ C \Leftrightarrow (A \Rightarrow B) $. Доказательство от противного заключается в том, что, если высказывание $ \neg C $ приходит в противоречие с ранее доказанными утверждениями, то по закону исключения третьего высказывание $ \neg (\neg C) \Leftrightarrow C $ истинно.
По правилам оперирования с высказываниями имеем: $\neg C \Leftrightarrow \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \wedge \neg B) $.
Применительно к исходному вопросу получаем.
Утверждение следствия а): $\exists N \quad \forall n > N \quad x_n > y_n \Longrightarrow A \geqslant B $.
Предположим, что истинно отрицание этого утверждения: $ (\exists N \quad \forall n > N \quad (x_n > y_n)) \wedge (A < B) $.
Тогда по ранее доказанной теореме 3 а): $A < B \Longrightarrow \exists N' \in \mathbb N \quad \forall n>N' \quad x_n < y_n $.
Возьмем $N'' = \max(N, N') $. Тогда $ \forall n>N'' (x_n < y_n \wedge x_n > y_n) $. Получаем противоречие. Таким образом, по закону исключения третьего верно противоположное высказывание, которое и является утверждением следствия а).

[Slav-27]

G00gle в сообщении #1194576 писал(а):

$ A < B \Longrightarrow \exists N \in \mathbb N \; (\forall n>N \; (x_n < y_n)) $

А у вас раньше на обе стороны была импликация...

Ну раз вы разобрались, то не буду вам мешать.