2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение15.02.2017, 20:46 


21/11/12
302
Andrey A в сообщении #1189236 писал(а):
Уравнение $xy(x^2-y^2)=zt(z^2-t^2)$ вроде бы рассматривалось, спросите Гугл.

Речь о парах пифагоровых треугольников равных площадей, подразумевается $\gcd x,y,z,t=1$, хотя сами тройки не обязательно примитивные. Может я плохо смотрел, но Гугл молчит на сей счет. Если четверка $x_0,y_0,z_0,t_0$ - решение, то $x_0+y_0,x_0-y_0,z_0+t_0,z_0-t_0$ - тоже решение, и обратно. Своего рода близнецы. В первой сотне их не менше ста $(x,y,z,t<100)$, и подобрать их легче, поскольку функция от двух переменных, но о решении как таковом даже упоминаний не встретил. Единственное что удалось: $$x_1=q(p^4+4q^4)\ y_1=2q(p^4-2q^4)\ z_1=6pq^4\ t_1=p(p^4-2q^4)$$$$x_2=3qp^4\ y_2=q(p^4-8q^4 )\ z_2=p(p^4+4q^4 )\ t_2=p(p^4-8q^4 )$$
Пары $p,q$ вз. простые. Решение не полное, в детали не вдаюсь :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение15.02.2017, 21:01 
Аватара пользователя


29/01/17
55
Andrey A, хотя бы один пример треугольников можно выудить из этих формул?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение15.02.2017, 21:47 


21/11/12
302
Берите по абсолютной величине. $p=1,q=1:\ x_1=5,y_1=2,z_1=6,t_1=1$ Евклидовы тройки помните?
$5^2-2^2=21,2\cdot 5\cdot 2=20,5^2+2^2=29$
$6^2-1^2=35,2\cdot 6\cdot 1=12,6^2+1^2=37$
Прямоугольные треугольники со сторонами $(21,20,29)\ (35,12,37)$ имеют площадь $s=20\cdot 21/2=35\cdot 12/2=210$. Кстати, это наименьшая пара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение16.02.2017, 11:43 
Аватара пользователя


29/01/17
55
Andrey A, понятно стало. очень понравилось. Правда, числа уж будут громадные у других вариантах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение16.02.2017, 13:46 


21/11/12
302
kalin в сообщении #1193134 писал(а):
... числа уж будут громадные

Бывает, что большие числа оказываются кратны и сваливаются в маленькое решение. Во всяком случае это не доказательство неполноты. Но, выбирая произвольные $p,q$, получаем четверку $x,y,z,t$ такую, что $\frac{z-t}{x-y}=\frac{p}{q}$. Если бы решение было общим, то взаимозамена $p\leftrightarrow q$ в силу симметрии самого уравнения имела бы следствием зеркальный результат, чего не происходит. Значит могут быть другие решения, и это прблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение16.02.2017, 13:52 
Аватара пользователя


29/01/17
55
Andrey A, согласен. Очень похоже на задачу о четырех кубах. Там тоже нашлось много неполных решений, но обнаружились и полные. Первое полное дал, по-моему. Харди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 12:37 
Заслуженный участник


17/09/10
1550
Andrey A в сообщении #1189337 писал(а):
Если есть ссылки о нахождении подобных пар (а не троек), буду признателен.

Информация о пифагоровых треугольниках с одинаковой площадью содержится, например, в небольшом разделе во 2 томе у Диксона в "Истории теории чисел" (по состоянию на начало 20 века), на середину 20 века у Серпинского в "Пифагоровых треугольниках" (тоже есть раздел), по состоянию на начало 21 века есть совсем небольшой раздел у Гая с именами и результатами, представляющими интерес, в "Нерешенных проблемах теории чисел".

Для нахождения пар пифагоровых треугольников с одинаковой площадью можно рассматривать кроме указанного также и уравнения
$x^4-y^4=r^4-s^4$,
$xy(x^2+y^2)=rs(r^2+s^2)$,
$x^4\pm{6}{x^2}{y^2}+y^4=r^4\pm{6}{r^2}{s^2}+s^4$,
$x^4+4y^4=r^4+4s^4$,
поскольку в правых и левых частях стоят выражения, дающие конгруэнтные числа.
Можно, наконец, допустить, и одинаковые выражения для генераторов в исходном уравнении.
Это допущение дает, к примеру, следующие параметризации для сторон пифагоровых треугольников $(a,b,c, a^2+b^2=c^2)$ и $(A,B,C, A^2+B^2=C^2)$
$A=|2+6t+6t^2+4t^3|, B=|-2t-t^2+2t^3+t^4|, C=|2+6t+7t^2+2t^3+t^4|$
$a=|-2-2t+2t^3+2t^4|, b=|2t+5t^2+2t^3|, c=|2+2t+t^2+2t^3+2t^4|$
$t\ne{-2},-1,-1/2,0,1,2$
При этом площади треугольников одинаковы $S=t(t^2-1)(t+2)(2t+1)(t^2+t+1)$
Поскольку полная рациональная параметризация исходного и указанных уравнений невозможна
(тут мы имеем дело с бесконечным семейством эллиптических кривых), то любое частное параметрическое решение,
видимо, представляет интерес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 14:10 
Аватара пользователя


29/01/17
55
Класс! t=3 ;
A=182; B=120; C=218; S=10920
a=208; b=105; c=233; S=10920

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 16:57 


21/11/12
302
scwec, спасибо! Буду разбираться, но кое-что по горячим следам.

Систему можно записать так: $\begin{cases}
(xz)^2+(yt)^2=p^2  \\  (xt)^2+(yz)^2=q^2 \end{cases}\ $ откуда $\begin{cases}
 p^2+q^2=(x^2+y^2)(z^2+t^2)  \\  p^2-q^2=(x^2-y^2)(z^2-t^2) \end{cases}$ и $$p^4-q^4=(x^4-y^4 )(z^4-t^4)$$ Такое уравнение интересно само по себе и для кубов, о нем может быть больше сведений (на счет $>4$ что-то не понимаю). Исходное - частный случай. Обозначим площадь треугольников $s=xyzt/2.$ Тогда

$p^2+4s=(xz+yt)^2$
$p^2-4s=(xz-yt)^2$
$q^2+4s=(xt+yz)^2$
$q^2-4s=(xt-yz)^2\ $ $$4s=(xz+yt)^2-p^2=p^2-(xz-yt)^2=(xt+yz)^2-q^2=q^2-(xt-yz)^2$$
Имеем тройки квадратов, равноудаленных друг от друга на числовой оси. Каждая такая тройка действительно описывается через евклидовы тройки, у Серпинского это называется "согласные числа" стр. 44. В предыдущей главе он рассматривает то же уравнение в рациональных числах (к вопросу конгруэнтных), и оказывается, если есть одно решение, то их бесконечно много. Нас же интересуют пары таких троек, чего он только касается и дает пример, но дальше не идет. А их может быть и больше: $$1838, 1418, 802$$$$2722, 2458, 2162$$$$3191, 2969, 2729$$$$6271, 6161, 6049$$
scwec в сообщении #1193327 писал(а):
Поскольку полная рациональная параметризация исходного и указанных уравнений невозможна...

Означает ли это, что общего решения не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 18:59 
Заслуженный участник


17/09/10
1550
Andrey A в сообщении #1193406 писал(а):
Означает ли это, что общего решения не существует?

Имеется в виду, что все рациональные точки на эллиптической кривой не могут быть выражены через рациональные функции от некоторых параметров.
Т.о. в данном случае общего параметрического решения с использованием только рациональных функций нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 19:30 


21/11/12
302
То есть, если я правильно понял, нет полного решения на языке теории эллиптических кривых. Если же его нет вообще, то решение для любых треугольников с положительной площадью тоже не может быть полным, ведь оно в некотором смысле просто более общий случай. Или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 21:32 
Заслуженный участник


17/09/10
1550
1.Эллиптические кривые параметризуются с помощью функции Вейерштрасса.
2.Рациональными функциями они не параметризуются.
3.Исходное уравнение сводится к семейству уравнений для эллиптических кривых $w^2=u^3-S^2{u}$,
где $S$ площадь треугольника ($S$ пробегает все конгруэнтные числа).
4.Нет общего решения этого уравнения в рациональных числах $u,w$, выраженного через рациональные функции от некоторых параметров.
5. В целых числах наличие общего решения исходного уравнения с использованием только рациональных функций крайне маловероятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение17.02.2017, 21:53 


21/11/12
302
Понял, спасибо. Учиться, учиться и учиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение20.02.2017, 15:02 


21/11/12
302
scwec, удивительно! Как эту штуку ни объезжай, к ней же в итоге всегда и вернёшься. Коровье вязло. При том что похожее уравнение $xy(x+y)=xt(z+t)$ решается отлично по аналогии с первоначальной задачей: $$x=A(Bc-bC);\ y=B(Ca-cA)$$ $$z=a(Bc-bC);\ t=b(Ca-cA),$$ где попарно вз. простые $ABC=abc$ взяты за аргумент. Более того, если рациональное $\alpha $ выразить дробью $\dfrac{ABC}{abc}$, получаем по тем же формулам $\dfrac{xy(x+y)}{xt(z+t)}=\alpha $. И задача kalinа решается по заданной пропорции, правда не полностью. Это я уже пузыри пускаю, выкидываю наводящие мысли как спасательные круги.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение23.02.2017, 22:32 
Заслуженный участник


17/09/10
1550
К первоначальной задаче о трех треугольниках и пяти длинах.
Можно доказать, что даже если потребовать чтобы площади всех треугольников были целыми числами, то таких троек существует бесконечно много.
Привожу пример
$(480,289,289), (322,289,289), (322,348,250)$. Площадь каждого треугольника $38640$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ИСН


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group