2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 11:54 


10/01/16
84
Подскажите, пожалуйста, равносилен ли переход
$
$\left\lvert f(x)\right\rvert>g(x)$\Leftrightarrow$ 
\left[\begin{array}{l} f(x)>g(x), \\ f(x)<-g(x). \end{array}\right.$$

Если нет, то почему. Некоторые дают через два случая в зависимости от знака $g(x)$. Пробовала подобрать пример, для которого приведенное решение было бы неправильным, не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 12:11 


14/01/11
2916
Если подобрать контрпример к утверждению не получилось, почему бы не попробовать его доказать?
Может быть, нагляднее будет переписать его в виде
$\left\lvert f(x)\right\rvert>g(x)$\Leftrightarrow$ 
\left[\begin{array}{l} f(x)>g(x), \\ -f(x)>g(x). \end{array}\right.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Переходы равносильными не бывают. Равносильными бывают утверждения.
Видимо Вы хотите спросить, равносильно ли неравенство слева дизъюнкции неравенств справа.
В одну сторону, наверно, самой очевидно, В другую сторону, предположите противное ...

Цитата:
Некоторые дают через два случая в зависимости от знака $g(x)$

А при чём здесь знак $g(x)$? Модуль убирается по-разному в зависимости от знака $f(x)$ - вот и получается разбор случаев

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
В школе обычно пишут
$
$\left\lvert x\right\rvert>5$\Leftrightarrow$ 
\left[\begin{array}{l} x>5, \\ x<-5. \end{array}\right.$
Привычка :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Сделаю ненужное и банальное, быть может, замечание: $(x)$ тут ни при чём совершенно ведь (почему, тогда уж, не $(x_1,...,x_n)$?) достаточно проверить для просто чисел, то есть для случая $f(x)=a, g(x)=b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 13:26 


10/01/16
84
Цитата:
А при чём здесь знак $g(x)$? Модуль убирается по-разному в зависимости от знака $f(x)$

В зависимости от знака $f(x)$ - это универсальное раскрытие модуля по определению. А случай
$\left\lvert f(x)\right\rvert >g(x) $ как частный чаще всего в источниках раскрывается так:
1 случай $$\left\{
\begin{array}{l}
 g(x)\geqslant0 \\
 \left[
\begin{array}{l}
 f(x)>g(x) \\
f(x)<-g(x) \\
\end{array}
\right. \\
\end{array}
\right.$$
2 случай $$\left\{
\begin{array}{l}
 g(x)<0 \\
 x\in R
\end{array}
\right.$$
Но у меня подозрение, что достаточно совокупности из первой системы, так как из нее при $g(x)<0$ следует $x\in R$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Контрпример?
$f(x)=-1$
$g(x)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства с модулями
Сообщение15.02.2017, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Универсальное - это просто определение модуля. Если есть универсальное и одновременно простое и прозрачное, зачем брать то, что сделано через альтернативное место?
Кстати, это место доказывается не иначе, как с помощью определения, то есть универсальным способом
Adrianaana в сообщении #1192891 писал(а):
чаще всего в источниках раскрывается так

Сильно сомневаюсь в слове чаще. Эту заумь, видимо, можно встретить в пособиях для поступающих - я таких не встречал, хотя в в абитуриентских работах, редко, но видел.

-- Ср фев 15, 2017 17:25:22 --

Евгений Машеров в сообщении #1192905 писал(а):
$f(x)=-1$
$g(x)=0$

Это не контрпример. Всё правильно там, я когда первый раз встретил эту заумь, тоже контрпример искать кинулся. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group