2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о ранге, Зорич, непонятный трюк
Сообщение15.02.2017, 10:17 


16/01/14
73
Здравствуйте! Прошу помочь с одним моментом из первого тома Зорича, в теореме о ранге.
Никак не могу понять, как получается, что некоторые частные производные равны нулю, и то, что функции $g^j$ не зависят от переменных $u^{k+1}\ldots,u^n$ (выделил желтым цветом это рассуждение).
Изображение

Изображение

Изображение

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о ранге, Зорич, непонятный трюк
Сообщение15.02.2017, 11:02 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Откуда равенство нулю частных производных? Вот откуда: выше замечено, что ранг матрицы равен $k$. Если хотя бы одно из $\partial g^j/\partial u^i$ при $i,j>k$ будет ненулевым, то ранг матрицы будет заведомо больше $k$, потому что, как видите, в первых $k$ строках она содержит единичную подматрицу $k$-го порядка.

Иначе можно так сказать: поскольку матрица блочно-треугольная, причем нулю равен северо-восточный блок, ранг этой матрицы равен сумме рангов северо-западного и юго-восточного блоков. Известно, что ранг всей матрицы равен $k$, и ранг северо-западного блока равен $k$. Следовательно, ранг юго-восточного блока нулевой, то есть весь этот юго-восточный блок нулевой.

Ну а насчет второго утверждения: если $f'(x) \equiv 0$ на интервале, то $f$ не зависит от $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о ранге, Зорич, непонятный трюк
Сообщение15.02.2017, 11:31 


16/01/14
73
popolznev, да, глупый вопрос получился. Спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о ранге, Зорич, непонятный трюк
Сообщение15.02.2017, 21:47 
Заморожен
Аватара пользователя


03/10/16
59
Немного оффтоп (не Зорич).. но тоже о ранге.

Рудин в своей т-е о ранге тоже рассматривает примерно то же, только записывает всё поабстрактней (соответственно, попонятней, на мой взгляд). Утверждение Зорича получаем в 2.5 присеста:
  • рассматриваем "обратное" производной отображение,
  • рассматриваем некую функцию, и
  • замечаем за ней некие свойства.
Всё. По сути - никаких выкладок.

Скриншоты на англ. (извините, на русском AFAIK 3-го издания нет, а 2-е заметно хуже в этой теореме):

Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение

Для утверждения Зорича - на формуле (71) можно остановиться, и подействовать "обратным" $S$. Но я для полноты привёл всё, Рудиновская т-а о ранге утверждает гораздо больше чем Зоричевская. И в конце - геометрический смысл.

Вопрос собственно: как можно догадаться рассмотреть отображение такого вида, $\mathbf G(\mathbf x)$, в (69)? :-) Не вижу у него простого наглядного смысла.

На ум приходит формула итераций Ньютона (она по сути используется в т-е об обр. ф-ции), но тут ведь другое..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group