2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 14:13 


02/07/11
59
Доброго времени суток!

В качестве примера, подводящего к моему вопросу, рассмотрим такое выражение:
$$\sum_{n\leqslant x}\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^s}\right),$$ где произведение идёт по простым делителям $n,\;\Re s>0$. Зададимся задачей найти асимптотику. Каждый здравомыслящий человек свернёт произведение в сумму, поменяет порядок суммирования, а потом получившийся ряд Дирихле разложит обратно в произведение по Эйлеру. В итоге мы получим $(1+o(1))\frac{x}{\zeta(s)}$. А умеет ли кто то находить такую асимптотику, не прибегая к смене порядка суммирования, работая именно с произведением (по видимому, с его средним) ?
Это становится актуальным, если произведение так просто не сворачивается в сумму. Например, если я хочу найти среднее (в понятно каком смысле) $$\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^s}-\frac{\cos(p)}{p^{2s}}\right).$$ Существуют ли методы исследования асимптотики в таких случаях?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 18:14 


02/07/11
59
В асимптотике примера я описался. Там, разумеется, $(1+o(1))\frac{x}{\zeta(1+s)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ну эти произведения -- они же мультипликативные функции. Записать производящий ряд и применять формулу Перрона.

-- 14.02.2017, 21:50 --

Для суммирования мультипликативных функций есть еще элементарные методы типа теоремы Вирзинга. Но я их не очень знаю, подойдут или нет. Комплексное интегрирование универсальней конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее неЭйлеровых произведений
Сообщение14.02.2017, 23:06 


02/07/11
59
ex-math Да, спасибо за Ваш ответ. Уже сам понял, что такие произведения всегда представляются в виде суммы по делителям от мультипликативной функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group