2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 13:03 


14/02/17
2
Не смог решить некоторые задачи, когда сдавал прошедшую сессию

Доказать, пользуясь критерием Арцела, что множество $A$ предкомпактно в пространстве $C[0,1]$, где
$A=\{ f\in C[0,1]/ f(1)\leqslant 7, |f'(x)|\leqslant 3 \forall x\in[0,1]\}$

Насколько я понял, для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$, а что делать с ограниченностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$
Для непрерывности достаточно просто факта существования производной на всём отрезке.
Или Вы имели в виду не просто непрерывность?
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
что делать с ограниченностью?
Как что? Доказывать.

А Вы точную формулировку критерия Арцела знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 13:37 


14/02/17
2
Someone в сообщении #1192625 писал(а):
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
для непрерывности достаточно условия $|f'(x)|\leqslant 3$
Для непрерывности достаточно просто факта существования производной на всём отрезке.
Или Вы имели в виду не просто непрерывность?
Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
что делать с ограниченностью?
Как что? Доказывать.

А Вы точную формулировку критерия Арцела знаете?


Арцел - равномерная ограниченность и равномерная непрерывность.
Производная существует и ограничена по модулю константой, значит есть равномерная непрерывность.
А вот ограниченность тут без единицы и только сверху, вот и интересуюсь как её доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
Арцел - равномерная ограниченность и равномерная непрерывность.
Нет, там не равномерная непрерывность. Там другое слово. Посмотрите в учебнике.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
Производная существует и ограничена по модулю константой, значит есть равномерная непрерывность.
Любая функция, непрерывная на отрезке является равномерно непрерывной на этом отрезке. Производные тут вообще ни при чём.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
А вот ограниченность тут без единицы и только сверху
Непонятное высказывание. Всякая функция, непрерывная на отрезке, является ограниченной на нём.
Но Вам ведь не ограниченность нужна, а равномерная ограниченность, и не функции, а семейства функций, которое у Вас обозначено буквой $A$.

Icefield в сообщении #1192630 писал(а):
вот и интересуюсь как её доказывать.
Ну, видимо, как-то из заданного условия на производную…

Icefield в сообщении #1192624 писал(а):
$A=\{ f\in C[0,1]/ f(1)\leqslant 7, |f'(x)|\leqslant 3 \forall x\in[0,1]\}$
Ой! А Вы условие правильно списали? Если всего лишь $f(1)\leqslant 7$, то никакой предкомпактности не будет, поскольку никакой равномерной ограниченности нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предкомпактность множества
Сообщение14.02.2017, 16:32 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Someone в сообщении #1192645 писал(а):
Ой! А Вы условие правильно списали? Если всего лишь $f(1)\leqslant 7$, то никакой предкомпактности не будет, поскольку никакой равномерной ограниченности нет.
А производная-то ограничена по модулю.

А, ой, тьфу-тьфу-тьфу, вы правы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group