Равенство множеств из равенства замыканий

[Anton_Peplov]

Есть ли широкие и удобные для проверки достаточные условия, при которых для открытых $A, B$ верно $[A] = [B] \Rightarrow A = B$ (квадратные скобки означают замыкание)?

Очевидный контрпример - луч $X = [0, \infty)$, на котором открыты только сам луч, $\varnothing$ и все отрезки вида $[0, a]$. Замыкание любого непустого открытого множества будет равно $X$. Отлично. Требуем хаусдорфовости (можно даже сразу метризуемости). Тогда контрпример - $[0, 1]$ как подпространство прямой с канонической топологией. Этот контрпример строится на том, что замыкание открытого множества $O$ (в данном случае $O = (0, 1)$) может, не совпадая с $O$, само быть открытым. Отлично. Тогда помимо метризуемости требуем еще, чтобы ни одно из открытых множеств $A, B$ не было замкнутым (правда, при этом выпадает такой красивый частный случай $[A] = [B] \Rightarrow A = B$, как дискретная топология, но мы ищем достаточные условия, а не необходимые). Хватит ли этого? Ох, чует мое сердце, что и этого не хватит. Но контрпример построить не могу. А чего хватит? Есть ли что-то, чего хватит, или это погоня за призраком?

[kp9r4d]

Цитата:

Хватит ли этого?

Прямая с выколотой точкой и с выколотой парой точек.

Не знаю, то, что вам нужно, или нет, но необходимо и достаточно потребовать, чтобы $\partial [A] = \partial [B]$ так как для замкнутого $A$ верно $A = \operatorname{Int} A \cup \partial A$ ($\partial$ - граница).

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1192607 писал(а):

Прямая с выколотой точкой и с выколотой парой точек.

Да, спасибо. Приходил в голову этот пример, но потом куда-то улетучился.

kp9r4d в сообщении #1192607 писал(а):

необходимо и достаточно потребовать, чтобы $\partial [A] = \partial [B]$ так как для замкнутого $A$ верно $A = \operatorname{Int} A \cup \partial A$ ($\partial$ - граница).

Не, ну это ежу понятно, но это не то, что я ищу. Я ищу условия, которые можно наложить сразу на класс множеств. Типа "для всех пушистых подмножеств роскошного пространства $X$ верно $[A] = [B] \Rightarrow A = B$". Но, похоже, такого все-таки не бывает.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1192591 писал(а):

Есть ли широкие и удобные для проверки достаточные условия, при которых для открытых $A, B$ верно $[A] = [B] \Rightarrow A = B$

Есть понятие канонического открытого множества: это которое является внутренностью какого-нибудь замкнутого множества (и парное понятие канонического замкнутого множества). Я не знаю, насколько это "широко" или "удобно". Для канонических открытых множеств действительно $[A] = [B] \Rightarrow A = B$. Боюсь, что для не канонических ничего хорошего не будет.

[Anton_Peplov]

Спасибо!

[mihaild]

Кажется что каноничность является критерием (если разрешено смотреть только на $A$ и $B$ по отдельности): если $A$ не каноническое, то возьмем в качестве $B$ внутренность замыкания $A$ - оно каноническое (и отличается от $A$), а его замыкание совпадает с замыканием $A$.