2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 09:15 


03/04/14
303
Товарищи, нужно проверить удовлетворяют ли функции условиям соответствующих теорем.
Какая-то одна, говорят, соответствует.
Не могу понять какая и почему.

1).
$f(x)=\dfrac{3-x^2}{x^4}$
удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [-1,1].
(условия теоремы Ролля: $f$ - непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$, и $f(a) = f(b)$)

$f(x)$ разрывна в точке $x=0$ следовательно условия не выполняются.

2).
$f(x)=\sqrt[5]{x^4(x-1)}$
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке $\big[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big]$.
(условия теоремы Лагранжа: $f$ - непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$)

$f'(x) = \dfrac 1 5  \dfrac {5x^4 - 4x^3}{(x^5 - x^4)^{\frac 4 5}}$
$f(0)$ не дифференцируема, условия не выполнены.

3).
$f(x)=\sqrt[3]{x^4(x+1)}$
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке $\big[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\big].
(условия теоремы Лагранжа: $f$ - непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$)

$f'(x) = \dfrac 1 3 \dfrac {5x^4 + 4x^3}{(x^5 + x^4)^{\frac 2 3}}$
$f(0)$ не дифференцируема, условия не выполнены.

4).
$f(x)=x^2$ и $g(x)=x^3$
удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке $[-1, 1]$.
(условия теоремы Коши: $f$ и $g$ - непрерывны на $[a, b]$, дифференцируемы на $(a, b)$ и $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a,b)$

$g'(x) = 3x^2$
$g'(0) = 0$, что не удовлетворяет условию $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a, b)$.

5).
$f(x)=e^x$ и $g(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}$
удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке $[-2,2]$.
(условия теоремы Коши: $f$ и $g$ - непрерывны на $[a, b]$, дифференцируемы на $(a, b)$ и $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a,b)$
$g'(x) = \dfrac {2x}{(1+x^2)^2}$
$g(0) = 0$ что не удовлетворяет условию $g(x) \neq 0$ при всех $x \in (a, b)$.


То есть получается, что ни в каком случае условия соответствующих теорем не удовлетворены.
Где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 09:56 


02/07/11
59
bayah
А почему Вы так уверены, что в пунктах 2) и 3) функции в нуле не дифференцируемые? Из-за нуля знаменателя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 14:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Точнее говоря, в пункте 2) или 3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 14:27 


03/04/14
303
Math_er в сообщении #1191406 писал(а):
bayah
А почему Вы так уверены, что в пунктах 2) и 3) функции в нуле не дифференцируемые? Из-за нуля знаменателя?


Ну да, из-за нуля. А разве производная не должна быть конечной в точке, чтобы функция в этой точке была дифференцируема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1191441 писал(а):
А разве производная не должна быть конечной в точке, чтобы функция в этой точке была дифференцируема?
Должна. А у Вас там непонятно, конечная она или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 15:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bayah в сообщении #1191441 писал(а):
Ну да, из-за нуля

Из-за нуля получается лишь, что формула для производной не применима в этой точке. Но это не означает, что производной там нет. Это означает, что в нуле надо искать её по определению, а не по формулам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 18:17 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1191445 писал(а):
Должна. А у Вас там непонятно, конечная она или нет.


А, ну да, разобрался.
2) стремиться к бесконечности, а 3) к нулю, оказывается)
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение10.02.2017, 22:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bayah в сообщении #1191504 писал(а):
А, ну да, разобрался.
2) стремиться к бесконечности, а 3) к нулю, оказывается)

Пока что не вполне разобрались. Мало ли что стремится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение11.02.2017, 05:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
ewert в сообщении #1191609 писал(а):
Мало ли что стремится.


bayah, хрестоматийный пример $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\frac1x&\text{\\, если }x\ne 0\\ 0&\text{\\, если }x= 0\end{matrix}\right.$ знаете? Как Вы думаете, существует ли производная этой функции в нуле? Доп. вопрос: будет ли производная непрерывна в нуле?

(как это по-рюски?)

bayah в сообщении #1191504 писал(а):
стремиться

Одно дело, если она хочет стремитЬся, и совсем другое, когда захотела и уже стремитЪся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение12.02.2017, 18:35 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

bot,
вот ещё некорректость, которую надо бы профессионально постебать (сам не возьмусь): :D
bayah в сообщении #1191392 писал(а):
$f(0)$ не дифференцируема, условия не выполнены.

Мне кажется, что $f(0)$ --- или число, или ж\dots, и ни то, ни другое в принципе не могут быть дифференцируемыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия теорем Ролля, Лагранжа, Коши
Сообщение13.02.2017, 06:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #1192028 писал(а):
bayah в сообщении #1191392
писал(а):
$f(0)$ не дифференцируема

Тут обычное косноязычие. Ясно, что речь идёт о поднятом заде не Татьяны, а кареты, в которой она ехала недифференцируемости не числа $f(0)$, а функции $f$ в точке $0.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group