2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение (x_1+x_2+...+x_n)(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)=N
Сообщение11.02.2017, 15:06 
Заслуженный участник


17/09/10
1583
Докажите, что уравнение $(x_1+x_2+...+x_n)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right)=N$ при $n\ge{4}$ и любом целом $N$ (кроме, возможно, $N=1$ при $n=4$) имеет бесконечно много различных целых решений.
(Два решения $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ и $\tilde x=(\tilde x_1,\tilde x_2,...,\tilde x_n)$ различны, если $x\ne{r}{\tilde x}$, где $r$ - рациональное число).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x_1+x_2+...+x_n)(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)=N
Сообщение11.02.2017, 17:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5157
Случай $n=3$ разбирается там же в разделе 6.2.

(Оффтоп)

Кстати, там пишут:
"There are 3 points of order 2 when $(N-9)(N-1)$ is an non-zero integer square. This only seems to happen when $N = 10$, though I have not tried to prove this!"
А на самом деле это очень просто доказать, так как задача сводится к разности квадратов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x_1+x_2+...+x_n)(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)=N
Сообщение12.02.2017, 12:12 
Заслуженный участник


17/09/10
1583
Подправил условие, добавив (кроме, возможно, $N=1$ при $n=4$).

(Оффтоп)

maxal в сообщении #1191772 писал(а):
Кстати, там пишут:
"There are 3 points of order 2 when $(N-9)(N-1)$ is an non-zero integer square. This only seems to happen when $N = 10$, though I have not tried to prove this!"
А на самом деле это очень просто доказать, так как задача сводится к разности квадратов...

Согласен, действительно просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x_1+x_2+...+x_n)(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)=N
Сообщение12.02.2017, 18:12 
Заслуженный участник


17/09/10
1583
Еще одно пояснение по поводу $N=1,n=4$.
Решения для $N=1,n=4$ существуют. Например,
$x_1=-8,x_2=-24,x_3=5,x_4=-18$,
$x_1=-35,x_2=-120,x_3=15,x_4=168$,
$x_1=-35,x_2=-120,x_3=15,x_4=-28$ и т.д.
Однако, под вопросом бесконечность количества различных решений в этом случае.
Нет простого доказательства.
В остальных случаях все достаточно элементарно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group