2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Произвольные сферические" координаты в R^{n+1}
Сообщение10.02.2017, 20:33 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Пусть $X^A$ -- декартовы координаты в $\mathbb R^{n+1}$, а $x^\mu$ -- произвольные координаты на $n$-мерной сфере, стандартно вложенной в $\mathbb R^{n+1}$. Тогда $x^\mu, r = \sqrt{X_A X^A}$ будут координатами в $\mathbb R^{n+1}$.

1. Казалось бы, ясно, что в этих координатах компоненты метрического тензора в $\mathbb R^{n+1}$ будут иметь вид
$$
ds^2 = r^2 h_{\mu\nu}(x) dx^\mu dx^\nu + dr^2,
$$где $h_{\mu\nu}$ -- метрика на единичной сфере, индуцированная вложением.

Но что-то у меня не получается это честно показать. OK, можно написать
$$
ds^2 = \eta_{AB} dX^A dX^B
	= \eta_{AB}
  	\left( \frac{\partial X^A}{\partial x^\mu} dx^\mu + \frac{\partial X^A}{\partial r} dr \right)
  	\left( \frac{\partial X^B}{\partial x^\nu} dx^\nu + \frac{\partial X^B}{\partial r} dr \right).
$$
Где $g_{\mu\nu} = \eta_{AB} \frac{\partial X^A}{\partial x^\mu} \frac{\partial X^B}{\partial x^\nu}$ ($\eta_{AB} = diag(1,\dots,1)$) -- индуцированная метрика на сфере радиуса $r$. $g_{\mu\nu}|_{r=1} = h_{\mu\nu}$. То, что $g_{\mu\nu} = r^2 h_{\mu\nu}$ следует из соображений размерности (но хотелось бы формального доказательства).

А вот с остальными компонентами тензора ($g_{\mu(r)} = g_{(r)\mu} \overset{?}{=} 0$ и $g_{(r)(r)} \overset{?}{=} 1$) я застрял. Ну, можно $X_A X^A = r^2$ подифференцировать по $x^\mu$ и $r$ -- получим
$$
X_A \frac{\partial X^A}{\partial x^\mu} = 0, \qquad X_A \frac{\partial X^A}{\partial r} = -r
$$
но нужные частные производные входят в эти выражения лишь в суммах, так что, в общем случае, непонятно как это использовать...


2. Так же возник связанный вопрос. Пусть
$$
\mathcal W = dX^0 \wedge \dots \wedge dX^n
= \frac{1}{(n+1)!} \epsilon_{A_0 \dots A_n} dX^{A_0} \wedge \dots \wedge dX^{A_n}
= \frac{1}{n!} \epsilon_{A A_1 \dots A_n} \frac{\d X^A}{\d r} dr \wedge \frac{\d X^{A_1}}{\d x^{\mu_1}} dx^{\mu_1} \wedge \dots \wedge \frac{\d X^{A_n}}{\d x^{\mu_n}} dx^{\mu_n}
$$
стандартная форма объёма в $\mathbb R^{n+1}$. Как показать, что пуллбэк $i_{\frac{1}{X^2} X^A \partial_{X^A}} \mathcal W = i_{\partial_r} \mathcal W$ на сферу равен $w = \sqrt{|g|} dx^{\mu_1} \wedge \dots \wedge dx^{\mu_n}$ -- римановой форме объёма на сфере? На уровне рукомахания и маломерных аналогий утверждение кажется очевидным. Но как честно показать в общем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Произвольные сферические" координаты в R^{n+1}
Сообщение10.02.2017, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vanger в сообщении #1191548 писал(а):
Ну, можно $X_A X^A = r^2$ подифференцировать по $x^\mu$ и $r$

дважды?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Произвольные сферические" координаты в R^{n+1}
Сообщение10.02.2017, 21:06 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Munin в сообщении #1191557 писал(а):
дважды?

А со вторыми производными, типа $X_A \frac{\partial^2 X^A}{\partial r \partial x^\mu}$, что делать?

-- Пт фев 10, 2017 22:00:18 --

vanger в сообщении #1191548 писал(а):
Как показать, что пуллбэк $i_{\frac{1}{X^2} X^A \partial_{X^A}} \mathcal W = i_{\partial_r} \mathcal W$ на сферу равен $w = \sqrt{|g|} dx^{\mu_1} \wedge \dots \wedge dx^{\mu_n}$ -- римановой форме объёма на сфере?

С этим, врочем, более-менее понятно (хотя комментарии по теме приветствуются). Действительно, риманова форма объёма, по построению, равна 1 на ортонормированном базисе. Пусть $e_1, \dots, e_n$ -- ортонормированный базис в касательном пространстве сферы. Тогда $\partial_r, e_1, \dots, e_n$ -- онторонмированный базис в касательном пространстве $\mathbb R^{n+1}$. По определению внутреннего произведения, $(i_{\partial_r} \mathcal W) (e_1, \dots, e_n) = \mathcal W (\partial_r, e_1, \dots, e_n) = 1$. Так что $i_{\partial_r} \mathcal W$ равно 1 на любом ортонормированном базисе в касательном пространстве к сфере. Потому и пуллбэк её равен 1 на любом ортонормированном базисе. А, потому, это риманова форма объёма.

Первый вопрос по-прежнему в силе.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Произвольные сферические" координаты в R^{n+1}
Сообщение11.02.2017, 05:24 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Отпустило.

Надо показать, что векторы $\partial_\mu$ (а потому и любой вектор из касательного пространства сферы) и $\partial_r$ ортогональны. Сфера — поверхность уровня. Градиент к ней ортогонален ей. А градиент это
$\sharp_\eta d (X^2) = \eta^{AB} 2X_B \partial_A = 2 X^A \partial_A = 2 r \partial_r$.
Т.е. $\partial_r$ пропорционален градиенту, а, потому, ортогонален поверхности. Потому $g_{\mu(r)} = 0$.

Последнюю компоненту тоже возьмём и по определению посчитаем:
$$
g_{(r)(r)} = g(\partial_r, \partial_r) = g( 1/r X^A \partial_A, 1/r X^B \partial_B ) = 1/r^2 g(\partial_A, \partial_B) X^A X^B = 1.
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group