2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическое неравенство. 2
Сообщение06.02.2017, 19:15 


11/07/16
157
На плоскости задано точку $O$ и многоугольник $\mathcal{F}$ (не обязательно выпуклый, но без самопересечений). Пусть $ P$ - периметр $\mathcal{F}$, $D$ - сумма расстояний от $O$ до всех вершин $\mathcal{F}$, $H$ - сумма расстояний от $O$ до прямых, содержащих все стороны $ \mathcal{F}$. Доказать неравенство
$D^2-H^2 \ge \frac {P^2} 4$ .
Пожалуйста, отвечайте подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 14:00 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
Пусть точка $O$ фиксирована.
1. "Одноугольником" $\Delta$ будем называть любой отрезок $AB$, его длиной $d$ - - полусумму длин отрезков $OA$ и $OB$, высотой $h$- длину высоты из $O$ на $AB$, полупериметром $p$ - половинку длины $AB$, векторной длиной - длину вектора $e = (p,h)$ (а сам этот вектор назовем базой одноугольника).
Лемма. Векторная длина одноугольника не превышает его длины.
Док-во. Пусть $M$ середина $AB$, точка $N$ - на серединном перпендикуляре к $AB$ - по ту же сторону, что и $O$, и на том же расстоянии от $AB$, тогда "векторная длина" $r$ - это длина отрезка $AN=NB$. Значит, $r \leqslant d$ (точка $O$ лежит на касательной к эллипсу с фокусами $A,B$ и малой полуосью $MN$ -т.е., вне него, в силу выпуклости его).
2. "Многоугольником" (и даже не обязательно плоским) будем называть любую систему одноугольников. Его длиной (базой) назовем сумму длин (баз) составляющих его одноугольников. Имеем: длина базы (по неравенству тр-ка) не превышает суммы длин баз, и (по лемме) не превышает длины многоугольника:
$\sqrt{(\sum\limits_{}^{}p_i)^2 +(\sum\limits_{}^{}h_i)^2}=
\left\lVert(\sum\limits_{}^{}p_i,\sum\limits_{}^{}h_i)\right\rVert=\left\lVert\sum\limits_{}^{}e_i \right\rVert
\leqslant \sum\limits_{}^{}\left\lVert e_i\right\rVert \leqslant$ по лемме $\leqslant\sum\limits_{}^{} d_i$
Однако, это и есть что надо: для честного многоугольника, полусуммы расстояний до его вершин вместе как раз и дают сумму расстояний....

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 15:25 


11/07/16
157
DeBill Спасибо за внимание к задаче и ваш труд. Вы пишите
Цитата:
точка $N$ - на серединном перпендикуляре к $ AB$ - по ту же сторону, что и $O$, и на том же расстоянии от $AB$, тогда "векторная длина" $r$ - это длина отрезка $AN=NB$. Значит, $r \leqslant d$ (точка $ O$ лежит на касательной к эллипсу с фокусами $A,B$ и малой полуосью $MN$

Пожалуйста, объясните, как вы понимаете расстояния от точек $O$ и $N$ до отрезка $AB$. Без этого растолкования дальнейшее изложение мне непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 15:33 


30/03/08
165
St.Peterburg
Пусть $x_{i,1} , x_ {i,2}$ -расстояния от основания высоты опущенной на $i$ -ю сторону до $ A_i $ и $A_{i+1}$
Тогда:
$$2D = \sum (\sqrt {h_i^2+x_{i, 1}^2}+\sqrt {h_i^2+x_{i, 2}^2}) \ge 2 \sqrt {H^2+p^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 15:48 


11/07/16
157
Sergic Primazon Спасибо внимание к задаче и ваш труд. Вы пишите
Цитата:
$\dots \ge 2\sqrt{H^2+P^2}$
. Пожалуйста, обоснуйте это место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 15:56 


30/03/08
165
St.Peterburg
Markiyan Hirnyk в сообщении #1190799 писал(а):
Sergic Primazon Спасибо внимание к задаче и ваш труд. Вы пишите
Цитата:
$\dots \ge 2\sqrt{H^2+P^2}$
. Пожалуйста, обоснуйте это место.

($ p$ - полупериметр)

Неравенство Минковского

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 16:02 


11/07/16
157
Пожалуйста, подробнее. Как у А. Галича - А из зала мне кричат: "Давай подробности!". В условии задачи $P$ - это периметр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение08.02.2017, 22:21 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
Markiyan Hirnyk в сообщении #1190786 писал(а):
расстояния от точек $O$ и $N$ до отрезка $AB$

Расстояние от точки до отрезка (прямой) - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство. 2
Сообщение10.02.2017, 14:34 


11/07/16
157
DeBill Спасибо. Сейчас занят. Продолжим обсуждение позже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group