Решить кубическое уравнение в 11-м классе

[Dmitriy40]

TR63
Хм, про решение от $a$ не догадался, спасибо за мысль. Только у меня получается даже более строгое ограничение $t^2 \geqslant 3$. Правда заметного облегчения не вижу, всё равно производная и интервалы возрастания/убывания (а с ними автоматом и минимум/максимум) нужны для интервала $\sqrt{3} \leqslant t < 27$ и сужение интервала несущественно.

[TR63]

У меня получается на промежутке $1<t<27$ производная не меняет знак (проверьте, может ошиблась). Т.е. исходная функция на нём монотонна. Монотонная на промежутке функция не может на нём иметь более одного корня. Поскольку есть перемена знака, то корень один. В итоге корень один. Максимум/минимум для определения количества корней не нужны, если функция монотонна {(здесь, как раз, существенно сужение интервала) (ведь на промежутке $0<t<1$ корней нет; на $0<t<27$ положительные корни есть; из монотонности на $1<t<27$ следует, что корень один)}.

[Dmitriy40]

По моему ошиблись, производная имеет нули чуть справа от $t=0$ и чуть слева от $t=18$. В первой точке у функции максимум, во втором минимум. Вот ссылка на графики $f(t)$ (синий) и $f'(t)$ (оранжевый) - http://yotx.ru/#!1/3_h/ubWwf7Fwf7Rgzhf2 ... 01v7UPBA==

[TR63]

Да, ошиблась (делала замену переменных $t=\frac1 3x$ и не учла это). Без калькулятора не получается.

(Оффтоп)

Интересно, существуют ли (a), при которых уравнение будет иметь три положительных корня. Надо вычислить дискриминант кубического уравнения и решить полученное уравнение. Попробовала на Вольфраме. Не очень понятен результат. Вроде не существует.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Да, думаю не существует. Вольфрам приводит и формулу дискриминанта $-3a^2-\dfrac{27}{a^2}+14$ и его график, видно что максимум дискриминанта достигается при $a=\pm \sqrt{3}$ и равен всего лишь $-4$. С обоих сторон уходит в $-\infty$. Т.е. трёх корней не бывает ни при каком $a$.

[TR63]

(Оффтоп)

Рассмотрим случай, когда $a\ge1$, $t\ge1$

$f=t^3-at^2+t-\frac1 a$

$f_1=a^2t^2-(t^3+t)a+1$

$(f_1)'_a=2t^2a-(t^3+t)$

1). $t> a>1$, $f_1<0$ (положительных корней нет; отрицательных корней нет).
2). $t<a$, $(f_1)'_a>0$. Функция монотонно возрастает. Получаем, что более одного корня в рассматриваемой области функция иметь не может, т.к. монотонна.
Но это относится к переменной (a). Надо для переменной (t).

[TR63]

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #1191334 писал(а):

Рассмотрим случай, когда $a\ge1$, $t\ge1$

$f=t^3-at^2+t-\frac1 a$

$f_1=a^2t^2-(t^3+t)a+1$

$(f_1)'_a=2t^2a-(t^3+t)$

1). $t> a>1$, $f_1<0$ (положительных корней нет; отрицательных корней нет).
2). $t<a$, $(f_1)'_a>0$. Функция монотонно возрастает. Получаем, что более одного корня в рассматриваемой области функция иметь не может, т.к. монотонна.
Но это относится к переменной (a). Надо для переменной (t).

С учётом знака свободного члена функции $f_1$, получаем, что, если положительные корни есть, то их количество чётно. Т.е. одного положительного корня не может быть. Получается, что $f_1\ge0$ и, значит $f\le0$. Тогда на рассматриваемом промежутке $(f)$ не может иметь трёх различных положительных корней (это следует из свойства: если функция отрицательна на промежутке, то на нём она может иметь только чётное количество корней). Теперь этот результат, если всё логично обосновано, применяем к исходной задаче.