2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63268
"Второй метод" называется "через законы сохранения", и действительно очень мощный во всевозможных задачах по физике. В отличие от "первого", "детального". Но для него надо, чтобы в задаче какие-то законы сохранения были. И поэтому физики их специально ищут. Иногда находят очень нетривиальные, например, вектор Лапласа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 15:44 
Заслуженный участник


28/12/12
4343

(Оффтоп)

Про цикл неинтересной задача показалась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение05.02.2017, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63268
Munin в сообщении #1185214 писал(а):
Замечание: к сожалению, движение не является гиперболическим, если начальная скорость не сонаправлена с силой. Подсказку даёт та же электродинамика: перейдя в начальную ИСО частицы, мы увидим магнитное поле, которое будет отклонять частицу от прямой линии. Однако, кажется, в итоге линия тоже будет красивой: "спираль, намотанная на гиперболу". В ЛЛ-2 дан только частичный результат, хотя указан путь к полному: разложить движение на разные направления. Думаю, ответ можно получить из соображений симметрии...

Задача просто интегрируется "в лоб" (straightforward), но ответ мне не кажется красивым. Искать его из симметрий лень, и я не надеюсь на успех.

Пусть частица движется с начальной скоростью $\mathbf{v}_0=v_0\mathbf{i},$ и на неё действует постоянная сила $\mathbf{f}=f\mathbf{j}$ (на электродинамическом языке - частица движется в постоянном электрическом поле $\mathbf{E}=E\mathbf{j}$). Компоненту по $z$ не буду выписывать.

Тогда $p^\mu=(m\gamma,p_x,p_y)=(m\gamma,p_0,ft),\quad p_0=\mathrm{c onst},\quad f=\mathrm{c onst}.$ Само изменение $\mathbf{p}(t)$ известно, но для перехода к скорости надо найти гамму (даже можно сразу $m\gamma$).
$p_\mu p^\mu=m^2\gamma^2-p_0^2-f^2t^2=m^2$
$(m\gamma)^2=p_0^2+f^2t^2+m^2$
$v_x=\dfrac{p_x}{m\gamma}=\dfrac{p_0}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}=\dfrac{dx}{dt}$
$v_y=\dfrac{p_y}{m\gamma}=\dfrac{ft}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}=\dfrac{dy}{dt}$

$x={\displaystyle\int\dfrac{p_0\,dt}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}}=\dfrac{p_0}{f}\ln\bigl(ft+\textstyle\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}\bigr)$
$y={\displaystyle\int\dfrac{ft\,dt}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}}}=\dfrac{1}{f}\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}$

---- Update: ниже лажа...

Если обозначить $\sh\Theta=\dfrac{ft}{\sqrt{p_0^2+f^2t^2+m^2}=E_0},$ то
$x=(p_0/f)\,\Theta$
$y=f^{-1}\ch\Theta$

Хм-м-м, не так уж некрасиво и не так уж "несимметрично"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение05.02.2017, 18:32 


09/10/15
1245
San Jose, USA
DimaM в сообщении #1185438 писал(а):

(Оффтоп)

Про цикл неинтересной задача показалась?


(Оффтоп)

На мой непритязательный взгляд даже очень красивая.
Я уже включил ее в цикл подготовки своих олимпиадников к мартовскому финалу американской олимпиады USAPHO.
Там почти всегда присутствует задача на термодинамический цикл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение05.02.2017, 20:00 
Заслуженный участник


28/12/12
4343
Munin в сообщении #1189939 писал(а):
Хм-м-м, не так уж некрасиво и не так уж "несимметрично"...

Для $y$ последнее выражение неверно, а в предпоследнем еще нужно нижний предел интегрирования подставить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение05.02.2017, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63268
Тьфу, $\sqrt{p_0^2+m^2}=E_0.$

Да, что-то я накосячил с последним выражением.

-- 05.02.2017 20:16:36 --

А нижний предел меня не интересует, я же могу сдвигать начало координат, как мне удобней (и в исходной задаче это и было удобней).

-- 05.02.2017 20:33:26 --

    Цитата:
    Если обозначить $\sh\Theta=\dfrac{ft}{\sqrt{p_0^2+m^2}=E_0},$ то
    $x=(p_0/f)\,\Theta$
    $y=(E_0/f)\ch\Theta$
    $t=(E_0/f)\sh\Theta$
Вот так как-то... Проверьте, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение08.02.2017, 11:51 
Заслуженный участник


28/12/12
4343
Munin в сообщении #1190060 писал(а):
Вот так как-то... Проверьте, пожалуйста.

Да, теперь верно.
Если все же хочется, чтобы $Y(0)=0$, то будет $y=(E_0/f)(\ch\Theta-1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение08.02.2017, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63268
Нешкольным мне кажется здесь взятие интегралов. Я сжульничал: в таблицу подсмотрел.

Собственно, к теме я вернулся, когда по другому поводу мне захотелось "увидеть" наглядно неинвариантность поперечной силы. Насколько это прозрачно из получившегося ответа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение09.02.2017, 10:23 
Заслуженный участник


28/12/12
4343
Munin в сообщении #1190814 писал(а):
Собственно, к теме я вернулся, когда по другому поводу мне захотелось "увидеть" наглядно неинвариантность поперечной силы. Насколько это прозрачно из получившегося ответа?

Неинвариантность относительно чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение09.02.2017, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63268
Бустов вдоль скорости частицы. В начале темы я обнаружил инвариантность силы продольной, что мне понравилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group