2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение03.02.2017, 04:17 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Let $ABCDEF$ is a complete quadrilateral and $M$ is the intersection point of the ray $AC$ and the segment $EF$. $P$ is the foot of the perpendicular from $M$ to $BD$. Prove that $\angle{EPM}=\angle{FPM}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение04.02.2017, 10:34 


12/12/16
98
В (собственном) переводе на Русский (для форумчан не знакомых с Английским):

В данном полном четырёхстороннике $ABCDEF$ луч $AC$ пересекает отрезок $EF$ в точке $M$, проекцией которой на отрезок $BD$ является точка $P$:

Изображение


Доказать: $\angle EPM = \angle FPM$

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение04.02.2017, 15:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
Пусть $A_1,E_1, F_1$ проекции точек $A,E,F$ на прямую $PM$.
Поместим в точки $A, E, F$ массы $1,p,q$ так, что центр масс пары $A,E$ есть $D$, а пары $A,F$ есть $B$ . Тогда
$AD:DE = p:1 = A_1P: PE_1, AB:BF = q:1 = A_1P:PF_1 $, так что
$PE_1: PF_1 = q:p$. $(1)$
Но центр масс всей системы совпадает с $C$, (ибо лежит на прямых $EB,FD, AM$), так что $EM:MF = q:p$ .
Из подобия прям. тр-ков $EME_1$ и $FMF_1$ имеем тада $EE_1:FF_1 = q:p$. Учитывая $(1)$, получим:
прямоугольные тр-ки $PEE_1$ и $PFF_1$ подобны, и соответствующие углы равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение04.02.2017, 15:46 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Thank you for the translation, picture and solution! I hope you like the problem. I created it seeing some similar problems.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение05.02.2017, 19:44 


30/03/08
165
St.Peterburg
Изображение

$l \perp n \ ,  \  n \parallel k \ , \ m \perp \Omega1\ , \ \Omega1 \perp \Omega 2$

$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение06.02.2017, 12:39 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Sergic Primazon ,

Your approach looks very interesting and similar solutions doesn't appear frequently.

Please provide more details why the first equality below is correct and leads to the next one.
$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение07.02.2017, 23:07 


30/03/08
165
St.Peterburg
ins- в сообщении #1190256 писал(а):
Please provide more details why the first equality below is correct and leads to the next one.
$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$.

Look here.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение08.02.2017, 02:04 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
I missed the moment $m$ is perpendicular to one of the planes by construction.
From the new document is not clear to me why $f_1 || e_1$ and why from the equality
$\angle E_1P_1D_1 = \angle F_1P_1B_1$ follows $\angle EPD = \angle FPB$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group