2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение03.02.2017, 04:17 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Let $ABCDEF$ is a complete quadrilateral and $M$ is the intersection point of the ray $AC$ and the segment $EF$. $P$ is the foot of the perpendicular from $M$ to $BD$. Prove that $\angle{EPM}=\angle{FPM}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение04.02.2017, 10:34 


12/12/16
98
В (собственном) переводе на Русский (для форумчан не знакомых с Английским):

В данном полном четырёхстороннике $ABCDEF$ луч $AC$ пересекает отрезок $EF$ в точке $M$, проекцией которой на отрезок $BD$ является точка $P$:

Изображение


Доказать: $\angle EPM = \angle FPM$

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение04.02.2017, 15:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1382
Пусть $A_1,E_1, F_1$ проекции точек $A,E,F$ на прямую $PM$.
Поместим в точки $A, E, F$ массы $1,p,q$ так, что центр масс пары $A,E$ есть $D$, а пары $A,F$ есть $B$ . Тогда
$AD:DE = p:1 = A_1P: PE_1, AB:BF = q:1 = A_1P:PF_1 $, так что
$PE_1: PF_1 = q:p$. $(1)$
Но центр масс всей системы совпадает с $C$, (ибо лежит на прямых $EB,FD, AM$), так что $EM:MF = q:p$ .
Из подобия прям. тр-ков $EME_1$ и $FMF_1$ имеем тада $EE_1:FF_1 = q:p$. Учитывая $(1)$, получим:
прямоугольные тр-ки $PEE_1$ и $PFF_1$ подобны, и соответствующие углы равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение04.02.2017, 15:46 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Thank you for the translation, picture and solution! I hope you like the problem. I created it seeing some similar problems.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение05.02.2017, 19:44 


30/03/08
181
St.Peterburg
Изображение

$l \perp n \ ,  \  n \parallel k \ , \ m \perp \Omega1\ , \ \Omega1 \perp \Omega 2$

$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение06.02.2017, 12:39 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Sergic Primazon ,

Your approach looks very interesting and similar solutions doesn't appear frequently.

Please provide more details why the first equality below is correct and leads to the next one.
$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение07.02.2017, 23:07 


30/03/08
181
St.Peterburg
ins- в сообщении #1190256 писал(а):
Please provide more details why the first equality below is correct and leads to the next one.
$\angle E_1P_1D1 = \angle F_1P_1B_1 \Rightarrow \angle EPD = \angle FPB$.

Look here.

 Профиль  
                  
 
 Re: Complete quadrilateral and equal angles
Сообщение08.02.2017, 02:04 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
I missed the moment $m$ is perpendicular to one of the planes by construction.
From the new document is not clear to me why $f_1 || e_1$ and why from the equality
$\angle E_1P_1D_1 = \angle F_1P_1B_1$ follows $\angle EPD = \angle FPB$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group