2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 15:36 
Аватара пользователя


16/09/15
602
Vince Diesel в сообщении #1189483 писал(а):
Не водится ли этот парадокс к тому, что $g_{ij}$ непрерывны, а $G_{ij}$ непрерывными быть не обязаны? Скажем, разрывны на поверхности тела?

Нет.Если рассмотреть очень маленькую трубку, то одинаковость $g_{ik}$ на границе означает одинаковые производные всех порядков по $r$ (вдоль трубки) и в ее центре они сильно отличаться так же не будут.(В пределе $d \to 0$ будет такой же $G_{ik}$)
А вот на поверхности шара, да , действительно $g_{ik}$могут приведены к одному значению, а $G_{ik}$ иметь разрывы.
Тут же все сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 16:26 
Аватара пользователя


14/11/12
1116
Россия, Нижний Новгород
warlock66613 в сообщении #1189484 писал(а):
А в ОТО нет трудностей с бесконечно тонкими массивными поверхностями, подобных тем, что имеются с материальными точками?
Хороший вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 17:27 
Заслуженный участник


25/02/11
1485
Erleker в сообщении #1189491 писал(а):
Нет.Если рассмотреть очень маленькую трубку, то одинаковость $g_{ik}$ на границе означает одинаковые производные всех порядков по $r$ (вдоль трубки) и в ее центре они сильно отличаться так же не будут.(В пределе $d \to 0$ будет такой же $G_{ik}$)
А вот на поверхности шара, да , действительно $g_{ik}$могут приведены к одному значению, а $G_{ik}$ иметь разрывы.
Тут же все сложнее.

Так чем внешняя поверхность шара отличается от внутренней, где цилиндр выпилен? И для непрерывности $G$ надо чтобы $G$ мало менялось, а не $g$.

Рассмотрим классический вариант задачи. Пусть плотность тела равна единице. Тогда его потенциал $U$ будет непрерывной функцией во все пространстве. Также как и сила $\nabla U$. При $d\to+0$ эти величины будут стремиться к таковым для шара. Однако производные силы вообще-то будут разрывны, поскольку $\Delta U=\operatorname{div}\nabla U=1$ внутри тела, но $\Delta U=0$ на оси цилиндра. Есть ли в этом парадокс?

И если переписать это в ваших терминах, не получится ли совершенно случайно для слабого поля, что $g_{ij}$ зависят как раз от $\nabla U$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение03.02.2017, 17:49 
Аватара пользователя


16/09/15
602
Vince Diesel в сообщении #1189514 писал(а):
Так чем внешняя поверхность шара отличается от внутренней, где цилиндр выпилен? И для непрерывности $G$ надо чтобы $G$ мало менялось, а не $g$.

То, что нужно для сшивки написал SergeyGubanov.Равенство при этом метрического тензора на границе - вовсе не обязательное условие.
И в данном случае его не будет.
А вот на поверхности сферы вещества можно сшить так, что метрический тензор будет одинаков.
Vince Diesel в сообщении #1189514 писал(а):
Однако производные силы вообще-то будут разрывны, поскольку $\Delta U=\operatorname{div}\nabla U=1$ внутри тела, но $\Delta U=0$ на оси цилиндра. Есть ли в этом парадокс?

Нет, почему?
Vince Diesel в сообщении #1189514 писал(а):
И если переписать это в ваших терминах, не получится ли совершенно случайно для слабого поля, что $g_{ij}$ зависят как раз от $\nabla U$?

Вы что-то путаете.Для слабого поля метрический тензор зависит от ньютоновского потенциала, а никак не от силы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение04.02.2017, 10:28 


02/11/08
119
SergeyGubanov в сообщении #1189475 писал(а):
Z.S., метрика должна быть не сферически симметричная, а осе симметричная.

Да, по инерции, сдуру скопировал не глядя (дури много). :?

Пока что вот нарисовал рисунок к задаче, чтобы приблизительно проиллюстрировать результаты измерений на оси, при постепенном переходе от пустого пространства к эталонному распределению вещества ( эталонное распределение - шар $A$).

Изображение

Красное - результат измерений для сплошного шара - эталон-ограничение сверху.
Зеленое - пустое пространство - эталон-ограничение снизу.
Желтое и синее - промежуточные результаты при разном отношении ($d/D$)

Vince Diesel в сообщении #1189483 писал(а):
Не водится ли этот парадокс к тому, что $g_{ij}$ непрерывны, а $G_{ij}$ непрерывными быть не обязаны? Скажем, разрывны на поверхности тела?

Есть ли на самом деле "парадокс" - это еще бабка надвое сказала. Но вот у меня и вопрос возник поэтому, что когда я смотрю, что при уменьшении отверстия до нуля, мы в итоге получим красную кривую, которой соответствует $G_{00}\neq0 $. А все что ниже красной линии - это уже вроде как вакуумное должно быть, $G_{00}=0 $. Я не могу понять, как при практически одинаковых $\mu(R)$ у красной границы, можно получить разрыв для $G_{00} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение04.02.2017, 11:42 
Заслуженный участник


25/02/11
1485
Как выражается $G$ через $g$ (а раз поле слабое, то через $U$)? Или хоть производные какого порядка от $g$ (или $U$) входят в $G$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение05.02.2017, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1378
warlock66613 в сообщении #1189484 писал(а):
А в ОТО нет трудностей с бесконечно тонкими массивными поверхностями, подобных тем, что имеются с материальными точками?

http://www.physics.uoguelph.ca/poisson/research/agr.pdf лекции на английском (главы 3.4, 3.7); почти тоже самое есть в МТУ, только без случая изотропных поверхностей.

-- 05.02.2017, 01:54 --

Erleker в сообщении #1189521 писал(а):
Равенство при этом метрического тензора на границе - вовсе не обязательное условие.

Обязательное. Но не достаточное.
(Естественно, речь об индуцированных на поверхность метриках)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение05.02.2017, 11:10 


02/11/08
119
Vince Diesel в сообщении #1189664 писал(а):
Как выражается $G$ через $g$ (а раз поле слабое, то через $U$)? Или хоть производные какого порядка от $g$ (или $U$) входят в $G$?

Сам $g_{ij}$, его первые и вторые производные.

Может быть такой вопрос будет более удачным, чем те, что я ранее пытался задавать:

Можно ли, решая уравнение $G_{00}^{B}=0$ для поля на оси отверстия , найти функцию $\mu ^{A}(R)$ для сплошного шара, как предельный случай $\mu ^{B}(R,d)$ при $d\rightarrow 0$, т.е. так , чтобы получить $\mu ^{A}(R)=\lim\limits_{d\to 0}(\mu ^{B}(R,d))$ :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение05.02.2017, 11:56 
Заслуженный участник


25/02/11
1485
Ну так если $g_{ij}$ выражаются через $U$, а в $G_{ij}$ входят вторые производные, то некоторые $G_{ij}$ будут разрывны на границе, поскольку часть производных $\partial_{ij}U$ разрывны там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение05.02.2017, 12:30 
Аватара пользователя


16/09/15
602
Geen в сообщении #1189851 писал(а):
Обязательное.
(Естественно, речь об индуцированных на поверхность метриках)

Для 3-х мерной гиперповерхности:
$$g^{A}_{\mu \nu}(x_A(z)) \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^i}  \frac{\partial x^{\mu}_{A}}{\partial z^j}= g^{B}_{\mu \nu}(x_B(\tilde{z})) \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^i}  \frac{\partial x^{\mu}_{B}}{\partial \tilde{z}^j},
$$
Но при этом 4-х метрика же вовсе не обязана не иметь разрыв?
Geen в сообщении #1189851 писал(а):
Но не достаточное.

Это понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение06.02.2017, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1378
Erleker в сообщении #1189882 писал(а):
Но при этом 4-х метрика же вовсе не обязана не иметь разрыв?

Не очень понятно про какой разрыв тут речь..

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение06.02.2017, 14:52 
Аватара пользователя


16/09/15
602
Geen
Не обязательно можно выбрать такие координаты в веществе и в пустой области, что бы 4-мерный метрический тензор (не индуцированный на поверхность 3 - мерный, а именно 4-мерный) одновременно во всех точках на граничной поверхности был одинаков.
В данном случае так не выйдет.
SergeyGubanov в сообщении #1189256 писал(а):
Z.S., формула (2) не верна в принципе. Можно говорить о сшивке двух решений на границе. Сшивка двух решений на границе делается вовсе не приравниванием метрических тензоров $g^{A}_{\mu \nu}(x_A)$ и $g^{B}_{\alpha \beta}(x_B)$

Поэтому, собственно говоря, парадокса и нет.Вы согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение06.02.2017, 16:24 
Аватара пользователя


10/12/11
1342
Москва
SergeyGubanov в сообщении #1189295 писал(а):
Erleker, потому что с разных сторон от граничной поверхности могут быть использованы разные системы координат. Например, в одной из систем координат метрика диагональна, а в другой не диагональна. Недиагональная компонента одной из метрик на граничной поверхности не обязана обращаться в ноль, но, при этом, разумеется, индуцированные метрики граничной поверхности должны быть эквивалентными.

Хотелось бы прояснить этот вопрос.
Я вам представлю 2 метрики - диагональная и недиагональная. Это внутренние решения коллапса однородной пыли, записанные в шварцшильдовских координатах. (из одной статьи взял).

$$ds^2=\frac{(y-1)^2r^2}{Ry^3(r-R^3)}dt^2-\frac{r}{(r-R^3)}dr^2-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

$$y=y(r,R)\quad y(r,1)=r$$

$$ds^2=\frac{4(y_1-1)^2}{(2r+R^3-3R^2)^2}[\frac{r^2(r-R^3)}{Ry{_1}^3}dt^2-\frac{rR}{y_1-1}dr^2+\frac{r^2(1-R)}{y_1^{3/2}(y_1-1)}drdt]-r^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2)$$

$$y_1=y_1(r,R)\quad y_1(r,1)=r$$

Координата $R$ безразмерна и граница здесь $R=1 $, а $r$ в единицах $r_g$.
Авторы сшивают именно так, как и у Вайнберга и у Оппенгеймера Снайдера, то есть все метрические компоненты на $R=1$ совпадают , но можно проверить , что и трехмерные метрики на границе совпадают также :
$$ds_{3}^{+}=ds_{3}^{-}$$
Перекрестный член $g_{rt}=0$ на границе. То есть непрерывность показывают. Гладкость никто и нигде не показывает.

Чтобы не вдаваться в сложные вычисления, объясню на пальцах как они получены. Стандартное решение Толмена о коллапсирующей пыли (ЛЛ-2 пар. 103 $f=0$) переведено в координаты Шваршильда, только во втором случае не требовали , чтобы $g_{tr}=0$, поскольку непонятно из каких соображений Оппенгеймер и Снайдер добавили именно его.

(Кстати ни Вайнберг ни ЛЛ-2 не проверяли гладкость).

Что скажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационный парадокс проколотого шара
Сообщение07.02.2017, 19:43 
Аватара пользователя


10/12/11
1342
Москва
Может я как-то сложно задал вопрос?
Получены две метрики внутри шарового облака в стандартных координатах.
Они , по мнению авторов (и мне так кажется) сшиваются с вакуумной метрикой Шварцшильда.
$$ds^2=\frac{r-1}{r}dt^2-\frac{r}{r-1}dr^2-r^2(d{\theta}^2+\sin^2d{\theta}d{\varphi}^2)$$
По крайней мере непрерывность компонент соблюдается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group