2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 13:14 


26/03/11
235
ЭФ МГУ
Есть множество $A=\{1,2,\dots,256\}$. Надо выбрать максимально по мощности подмножество $A'$, так, что в нем нет элементов $x,y$, таких что $x=2y$.

Сначала подумал на числа каталана, но как это их никак сюда. Потом подумал, что нужно воспользоваться тем, что это множество с максимальной мощностью, значит как только мы добавим в него еще один любой элемент $z$ из $A \setminus A'$, то найдется такой $x\in A'$, что $z=2x$ или $x=2z$. Наверное, это бы было как-то действенно, если бы я представлял себе, что такое $A \setminus A'$, но я не могу охарактеризовать, что это за множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 13:56 
Заслуженный участник


12/09/10
1492
Найдите подмножество с этим свойством из 128 элементов и докажите, что из 129 таких нет (принцип Дирихле).

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11146
Казань
Я тоже сначала так подумала, но 129 - можно! Например, $\{1,129,130, ..., 256\}$. И больше можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 14:02 
Заслуженный участник


12/09/10
1492
И действительно, просчитался, не стоит такие вещи в уме прикидывать

-- Пн мар 31, 2014 15:15:53 --

Больше 172 нельзя. Но пример у меня есть только со 171.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13155
с Территории
А и 172 нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 15:13 
Заслуженный участник


12/09/10
1492
Делаем примерно так: числа $1..256$ надо разбить на пары $(x,2x)$
У меня получилось выделить 85 непересекающихся пар (если опять не обсчитался). Соответственно из $256-85+1=172$ чисел два числа окажутся в одной паре. И осталось найти пример со 171 числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение31.03.2014, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13155
с Территории
Не надо пары. Надо цепочки из чисел, последовательно отличающихся в 2 раза. Если в цепочке одно или два числа, то можно взять одно. Если 3 или 4 - то 2. Если 5 или 6 - то 3. И так далее.
Какие есть цепочки и сколько - посчитать легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное по мощности подмножество
Сообщение07.02.2017, 07:57 


08/09/16
2
Моё решение.
Будем строить $A'$.
Заметим сразу, что все нечётные элементы множества $A$ содержится в $A'$.
То есть $$A_1 = \{ 2k-1 \  | \ k = 1, \ \ldots \ , 128\} \subset A'.$$

Ясно, что если элемент $a \in A'$, то и $4a \in A'$ (при условии $4a \leqslant 256$). Получаем
$$
\begin{aligned}
	& A_2 = \{ 4 \cdot (2k-1) \  | \ k = 1, \ \ldots \ , 32 \} \subset A', \\
	& A_3 = \{ 16 \cdot (2k-1) \  | \ k = 1, \ \ldots \ , 8 \} \subset A', \\
	& A_4 = \{ 64 \cdot (2k-1) \  | \ k = 1, \ 2 \} \subset A', \\
	& A_5 = \{ 256 \cdot (2k-1) \  | \ k = 1 \} \subset A', \\
\end{aligned}
$$
Множества $A_i$ попарно не пересекаются, значит,
$$
	A' = \bigcup_{i=1}^5 A_i \quad \text{и} \quad |A'| = 128+32+8+2+1 = 171.
$$
Ответ: $171$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group