2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 00:48 


10/11/11
81
$\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac\\ad\\bc\\bd\end{pmatrix}$

Можно ли указанное выше действие назвать тензорным произведением?

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А дайте-ка определение тензорного произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 01:07 


10/11/11
81
вроде как под функториальность подходит, но меня сбивает с толку частный случай: обязательно ли второй вектор должен быть строкой, чтобы получилась матрица?

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
FeelUs в сообщении #1189386 писал(а):
Можно ли указанное выше действие назвать тензорным произведением?
Wiki писал(а):
Свойства

$$\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$$

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
FeelUs
Мне тоже кажется, что ерунда написана в частном случае. Очевидно, что то тензорное произведение вектора на ковектор, а не вектора на вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Написанное можно называть только несколькими буковками и скобочками, пока не определено, что это за объекты, и в какие алгебраические системы включены.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1189438 писал(а):
Написанное можно называть только несколькими буковками и скобочками, пока не определено, что это за объекты, и в какие алгебраические системы включены.

Очень понравилась фраза своей универсальностью, её можно буквально копировать и вставлять вообще под любой формулой.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 14:51 


10/11/11
81
Dan B-Yallay в сообщении #1189409 писал(а):
FeelUs в сообщении #1189386 писал(а):
Можно ли указанное выше действие назвать тензорным произведением?
Wiki писал(а):
Свойства

$$\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$$

$2\cdot 2=4$ - OK

числа это

Нильсен и Чанг (квантовые вычисления) в разделе 2.1.7. говорит, что
$|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle = 
\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ - элемент пространства $V\otimes V$

Но получится всё равно тензор типа (2,0) в пространстве размерностью 2, а матрично-столбцово-строковая запись не совсем корректна: например если я захочу $\langle a|(|b\rangle\otimes|c\rangle)$, то я должен буду конкретизировать $\langle a|b\rangle |c\rangle$ или $|b\rangle\langle a|c\rangle$

Но если я скажу, что так делать не буду, а буду работать в пространстве размерностью 4 и договорюсь $(\langle a|\otimes\langle b|)(|c\rangle\otimes|d\rangle)=\langle a|d\rangle\langle b|c\rangle$, то матрично-столбцово-строковая запись вновь становится корректной, а также самая первая формула в этом топике обретает смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
FeelUs в сообщении #1189486 писал(а):
$2\cdot 2=4$ - OK

Действительно. Тогда осталось определить операции на полученной конструкции. А то ведь любой массив элементов можно вытянуть в строку.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Мне одному очевидно, что речь идёт о двумерном векторном пространстве $V$ с фиксированным упорядоченным базисом $e_1,e_2$ и $e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, $e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, а у $V \otimes V$ с упорядоченным базисом $e_1 \otimes e_1, e_1 \otimes e_2, e_2 \otimes e_1, e_2 \otimes e_2$? Я просто вообще не вижу простора для интерпретаций в равенстве в ТС-посте, там, как по мне, всё чётко и очевидно верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение03.02.2017, 23:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
На самом деле можно ещё рисовать строки строк и столбцы столбцов (и столбцы строк строк столбцов столбцов, скажем), и свёртки будут выглядеть более-менее прозрачно как и для обычных матриц-столбцов-строк (матрицу можно понимать как строку столбцов или столбец строк). Можно даже принять, что всё более и более вложенные скобочки соответствуют последовательным индексам тензоров в индексной записи.

Насколько это удобно — думаю, зависит от приложений, но делать так безусловно тоже можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: тензорное произведение
Сообщение04.02.2017, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kp9r4d
Я боюсь, если ТС что-то спрашивает, то ему что-то не очевидно. Надо выяснить, что именно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group