Преобразования, оставляющие инвариантной гиперплоскость

[n.busygina]

Пусть $A$ - линейное преобразование евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$; $b\in\mathbb{R}^{n}$, $F$ - аффинное преобразование пространства $\mathbb{R}^{n}$, $F(x)=Ax+b$. Очевидно, что если $A^{\ast}a=a$, $(a,b)=0$, то преобразование $F$ переводит гиперплоскость $(a,x)=c$ в себя. Действительно,

$$ (a,F(x))=(a,Ax+b)=(a,Ax)+(a,b)=(A^{\ast}a,x)+(a,b)=(a,x)=c. $$

Являются ли условия $A^{\ast}a=a$, $(a,b)=0$ не только достаточными, но и необходимыми для того, чтобы преобразование $F$ оставляло инвариантной гиперплоскость $(a,x)=c$ ?

Общий случай я рассмотреть не могу. Единственное, что мне удалось установить, что в частном случае, когда $b=0$ (т.е. преобразование $F$ линейное) и вектор $a=(1,1,\ldots,1)$, то беря в качестве $x$ векторы, у которых $i$-я координата равна $c\neq 0$, а все остальные координаты - нули, удается вывести из равенства $(A^{\ast}a-a,x)=0$ для всех $x$ из гиперплоскости $(a,x)=c$, что в самом деле тогда выполняется $A^{\ast}a=a$. Но как быть с общим случаем, когда $a$ - произвольный ненулевой вектор? Пусть для начала $b=0$. Хотя меня интересует случай как $b=0$, так и случай произвольного ненулевого $b$.

[DeBill]

n.busygina
А в чем проблемы?
Если $c\ne 0$, $b=0$:
имеем Ваше равенство

n.busygina в сообщении #1189349 писал(а):

$(A^{\ast}a-a,x)=0$

.
Оно означает, что вектор из левой части скалярного произведения ортогонален всем векторам из гиперплоскости. Но при $c\ne 0$ это есть ортогональность всем векторам...
Для $b\ne 0$ в точности как у Вас получим: вектор $a$ является собственным для $A^{\ast}$ с собственным значением $k = \frac{c-(a,b)}{c}$.
А вот для $c=0$ ....

[ewert]

Вот как раз со случая $c=0$ лучше и начинать -- он прозрачнее, т.к подпространство линейно. Тогда тождество $\big((A^*a-a),x\big)+(a,b)\equiv 0$ возможно лишь при $(a,b)=0$ и при ортогональности вектора $A^*a-a$ к соотв. подпространству, т.е. к пропорциональности $A^*a-a$ и $a$. Т.е. вектор $a$ должен быть собственным (любым).

Ну а случай $c\neq0$ несколько сложнее, но рассматривается по той же схеме. Теперь $x=y+\gamma a$, где $\gamma\colon(a,\gamma a)=c$ и множество всех игреков -- то же самое линейное подпространство (ортогональное дополнение к $a$). По прежним причинам вектор $a$ должен быть каким-то собственным для сопряжённого оператора, но теперь вместо требования ортогональности $a$ и $b$ получается уравнение на собственное число. Т.е. вектор $b$ сам по себе можно брать каким угодно, но от его выбора зависит, каким должно быть собственное число. Ну или наоборот: можно брать какое угодно собственное число, и тогда $b$ должен будет принадлежать соотв. аффинной гиперплоскости (параллельной исходной). Вот в последней формулировке и результат, и доказательство одинаковы уже для любых $c$.

[n.busygina]

Большое спасибо, всё понятно!

У меня еще вопрос. В каких книгах можно прочитать об аффинных преобразованиях симплекса

$$ \Delta^{n-1}= \Big\{(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^{n}: \,\, x_i \geq 0 \,\, \forall i= \overline{1,n}, \,\, \sum\limits_{i=1}^{n} x_i =1 \Big\}, $$

переводящих симплекс в себя? То есть какова общая структура таких преобразований?

[MetaMorphy]

Не знаю, что насчёт книг, но...

Этот симплекс является выпуклой оболочкой $n$-элементного множества - стандартного базиса $\mathbb{R}^n$. И не является выпуклой оболочкой никакого другого $n$-элементного множества. Образ выпуклой оболочки любого множества при аффинном преобразовании является выпуклой оболочкой образа этого множества.

Поэтому действие аффинного преобразования, переводящего симплекс в себя, на стандартном базисе должно быть перестановкой. На общую структуру потянет ;)

[ewert]

MetaMorphy в сообщении #1189567 писал(а):

действие аффинного преобразования, переводящего симплекс в себя, на стандартном базисе должно быть перестановкой

Не совсем так. Ведь в себя, а не на.

[MetaMorphy]

ewert: Обычно "переводящего на себя" не говорят :)

Если всё-таки "это" имелось в виду (т.е. образом симплекса должно быть его подмножество), то и тут всё ясно - образы вершин симплекса должны попасть в симплекс. Но тут уже меньше "свободы для упрощения"...