Линии уровня в неоднородных средах

[Yu_K]

Есть точка на плоскости с координатами $(a,0)$ и прямая $y=kx$ , которая делит плоскость на две части, с разными скоростями прохождения сигнала $V_1$, $V_2$ в этих частях. Требуется построить линии уровня функции $T(x,y)$, которая определяет время прихода сигнала в точку $(x,y)$. Функция $T(x,y)$ выглядит так

$$T(x,y)=\min_{x_b} \left ( {\frac {\sqrt{(x-x_b)^2+(y-kx_b)^2}}{V_1}}+{\frac {\sqrt{(a-x_b)^2+(kx_b)^2}}{V_2}} \right ) $$

При одинаковых скоростях это будут просто окружности - а вот при разных скоростях картинка поменяется.

Ну и полностью задача следующая - построить линию которая будет "равноудалена" (в смысле времени достижения сигнала) от двух точек, лежащих в разных средах.

[Brukvalub]

Как минимум, стОит упростить задачу, развернув картинку так, чтобы линия раздела сред прошла по оси $OX$, а источник сигнала расположился на оси $OY$, а потом попробовать стандартную схему исследования на экстремум - искать нули градиента.

[DeBill]

Yu_K
Это - классическая задача по преломлению света.
Ответ мы знаем (его легко получить по рецепту Brukvalub):
отношение синуса угла падения к синусу угла "прохождения" равно к-ту преломления (т.е., отношению скоростей).
Здесь "угол падения" - угол между траекторией - лучом, и нормалью к линии раздела сред.
Удобно, видимо, использовать к-ты, в которых линия раздела имеет ур-е $y=0$, источник $I$- к-ты $(0,a), a>0$.
Можно попробовать так: проводим из точки $I$ отрезок $IA$ до пересечения с осью абсцисс, $A=(x_b, 0)$, определяем угол падения $\alpha, \tg \alpha =\frac {x_b}{a}$ , и время движения $t$ до точки $A$, $t =\frac{IA}{V_1} $. Считаем угол прохождения $\beta, \sin \beta =k\cdot \sin \alpha, k =\frac{V_2}{V_1} $, оставшееся время движения $\tau = T-t$, и находим точку $B$, в которую придем за время $\tau$, двигаясь из $A$ под углом $\beta$. Точки $B =(x,y)$ и составят (параметрически заданную) линию уровня.
Выглядит довольно сложно, но можно сильно упростить, заметив что $x=V_1\cdot \sin \alpha$: отсюда сразу выразим угол через $x$, это позволит получить явное выражение для $y = y(x)$. Явно я не считал, но, вроде, функция довольно поганая получится...
Про вторую часть задачи - про равноудаленные точки: имея уравнение линий уровня - задача сводится к решению некого ур-я, выписать которое я поленился....
Надо еще только отметить, что с полученным уравнением надо обращаться весьма деликатно - из-за ОДЗ. Ибо предельные возможные углы $\alpha$ в задаче не должны превышать (при $k>1$) $\alpha_0, \sin \alpha_0 =\frac{1}{k} $ - иначе будет "полное отражение"....

[Yu_K]

DeBill, Brukvalub Спасибо за ответы. Картинки линий уровня численно нарисовал для различных вариантов. Насчитал дискретный набор значений $T(x_k,y_k)$ - по ним построил линии уровня поверхности. Линию раздела сделал вертикальной. Во второй задаче пока не автоматизовал расчёт - хотя схематично уже можно представить как себя поведёт линия "равноудалённых" точек.