2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Ранг матрицы из квадратов
Сообщение08.05.2015, 21:12 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Не совсем: например, при $k=1$ определитель
$\begin{vmatrix}0&1&2\\1&0&1\\2&1&0\end{vmatrix}=4$,
хотя при ранге $2$ должен быть нулевым. Обобщение такое:$$\operatorname{rk}\begin{pmatrix}
0^k & 1^k & 2^k & \cdots &  (n-1)^k \\
(-1)^k & 0^k & 1^k & \cdots &  (n-2)^k \\
(-2)^k & (-1)^k & 0^k & \cdots &  (n-3)^k   \\
\cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
(-n+1)^k & (-n+2)^k & (-n+3)^k &  \cdots & 0^k 
\end{pmatrix}=k+1$$Тогда каждая строка (и столбец) будут составлены из последовательных значений полинома $k$-й степени, что важно. Для четных $k$ (как в задаче) минусы можно убрать.

-- Пт май 08, 2015 21:13:19 --

patzer2097
Не буду уже удалять сообщение, OK?

-- Пт май 08, 2015 21:36:43 --

Кстати, если для каждого $k$ находить максимальный ненулевой угловой минор, получим $(k!)^{k+1}$ (последовательность A091868).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы из квадратов
Сообщение08.05.2015, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, точно, забыл минус поставить! Когда думал, имел его в виду, а когда запостил - забыл.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы из квадратов
Сообщение08.05.2015, 22:56 


25/08/11

1074
Теория вроде говорит, что если к этой матрице применить ДПФ, то она диагонализируется. Это можно посчитать явно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг матрицы из квадратов
Сообщение02.02.2017, 13:01 


08/09/16
2
Моё Решение.

    Для $n=1$. $A = (0), \ \operatorname{rank} A = 0$.

    Для $n=2$. $$A = \begin{pmatrix}
0 & 1  \\
1 & 0  
\end{pmatrix}, \ \operatorname{rank} A = 2.$$

    Для $n=3$.
    $$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 1 \\
4 & 1 & 0 
\end{pmatrix}, \ \operatorname{rank} A \geqslant 2,$$ так как минор в левом верхнем углу
    $$\operatorname{\det}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}= -1 \neq 0.$$
    Поскольку
    $$
\operatorname{\det} \begin{pmatrix}
0 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 1 \\
4 & 1 & 0 
\end{pmatrix} = (0+4+4)-(0+0+0)=8 \neq 0,
$$
    то $\operatorname{rank}A = 3$.


    Для $n \geqslant 4$. $\operatorname{rank} A \geqslant 3$.
    $$
\begin{aligned}
	\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}
	\begin{pmatrix}
0 & 1 & 4 & \dots & (n-2)^2 & (n-1)^2 \\
1 & 0 & 1 &  \dots & (n-3)^2 & (n-2)^2 \\
4 & 1 & 0 &  \dots & (n-4)^2 & (n-3)^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots  \\
(n-2)^2 & (n-3)^2  & (n-4)^2  & \dots & 0 & 1 \\
(n-1)^2 & (n-2)^2 & (n-3)^2   & \dots & 1  & 0
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
    Ранг матрицы $A$ не изменится, если вычесть из $i-\text{ой}$ строки предыдущую:
    $$
 \begin{aligned}
 a^\prime_{ij} & = (i-j)^2 - ((i-1)-j)^2 = (i-j - (i-1)+j)\cdot(i-j+(i-1)-j) = \\
 & = 2 \cdot (i-j) -1 \quad \text{для} \ i = 2,\ldots, n \text{ и } j = 1,\dots,n.
 \end{aligned}
 $$
    $$
\begin{aligned}
\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 4 & \dots & (n-2)^2 & (n-1)^2 \\
1 & -1 & -3 &  \dots & 5-2n & 3-2n \\
3 & 1 & -1 &  \dots & 7-2n & 5-2n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots  \\
2n-5 & 2n-7  & 2n-9  & \dots & -1 & -3 \\
2n-3 & 2n-5 & 2n-7   & \dots & 1  & -1
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
$$
    Повторим этот процесс. Получим:
    $$
 \begin{aligned}
 a^{\prime\prime}_{ij} & = (2\cdot(i-j) - 1) - (2\cdot(i-1-j) - 1)  = 2 \cdot (i-j-i+1+j) = 2 \\
 & \text{для} \ i = 3,\ldots, n \text{ и } j = 1,\dots,n.
 \end{aligned}
 $$
    То есть в матрице $A^{\prime\prime}$ все строки, начиная с третьей включительно, заполнены числом 2. Значит, $\operatorname{rank} A \leqslant 3$.
    Но, как было замечено ранее, $\operatorname{rank} A \geqslant 3$. Следовательно, $\operatorname{rank} A = 3$.


Ответ: $\operatorname{rank} A = 0$ для $n=1$, $\operatorname{rank} A = 2$ для $n=2$, $\operatorname{rank} A = 3$ для $n \geqslant 3$.

На это решение меня натолкнула следующая мысль: каждый элемент матрицы суть квадрат некоторого числа $a$, но со школьных времён я помню такую формулу $\sum_{k=1}^a (2k-1) = a^2$. Я заметил, что разность $(a+1)^2 - a^2 = 2a+1$, а числа $2a+1$ образуют арифметическую прогрессию с разностью 2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group